Oberes Quartil (Q3) berechnen
Online Rechner zur Berechnung des oberen Quartils (75. Perzentil) einer Datenreihe
Oberes Quartil Rechner
Das obere Quartil (Q3)
Das obere Quartil Q3 ist das 75. Perzentil einer Datenreihe. Es teilt die oberen 25% von den unteren 75% der sortierten Daten.
Quartile Visualisierung
Die Quartile teilen die Daten in vier gleiche Teile.
Q3 liegt zwischen Median und Maximum.
● Oberes Quartil (Q3) ● Median (Q2) ● Unteres Quartil (Q1)
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Was ist das obere Quartil (Q3)?
Das obere Quartil Q3 ist ein wichtiges Lagemaß der deskriptiven Statistik:
- Definition: Wert, der 75% der Daten von den oberen 25% trennt
- Bezeichnung: Auch 75. Perzentil oder drittes Quartil genannt
- Position: Liegt zwischen Median und Maximum
- Eigenschaft: Robust gegen Ausreißer im oberen Bereich
- Anwendung: Boxplots, Interquartilsabstand, Streuungsmaße
- Interpretation: 75% der Werte liegen unterhalb von Q3
Die vier Quartile im Überblick
Die Quartile teilen eine sortierte Datenreihe in vier gleich große Teile:
Q1
Unteres Quartil
25. Perzentil
25% darunter
Q2
Median
50. Perzentil
50% darunter
Q3
Oberes Quartil
75. Perzentil
75% darunter
IQR
Interquartilsabstand
IQR = Q3 - Q1
Mittlere 50%
Anwendungen des oberen Quartils
Das obere Quartil Q3 wird in vielen Bereichen verwendet:
Datenanalyse
- Boxplot-Darstellung (obere Box-Grenze)
- Interquartilsabstand (IQR = Q3 - Q1)
- Ausreißererkennung (Werte > Q3 + 1.5·IQR)
- Five-Number-Summary (Min, Q1, Q2, Q3, Max)
Praktische Anwendungen
- Einkommensverteilung (oberes Viertel)
- Leistungsbeurteilung (Top 25%)
- Qualitätskontrolle (obere Toleranzgrenze)
- Benchmarking (überdurchschnittliche Performance)
Berechnung des oberen Quartils
Oberes Quartil (Q3)
Q3 entspricht dem 75. Perzentil
Position berechnen
Position von Q3 in sortierter Liste (n = Anzahl)
Interquartilsabstand
Spanne der mittleren 50% der Daten
Ausreißergrenze (oben)
Werte darüber gelten als Ausreißer
Symbolerklärungen
| \(Q_3\) | Oberes Quartil |
| \(Q_1\) | Unteres Quartil |
| \(P_{75}\) | 75. Perzentil |
| \(n\) | Anzahl der Werte |
| \(IQR\) | Interquartilsabstand |
| \(k\) | Position in sortierter Liste |
Beispielrechnungen für das obere Quartil
Beispiel 1: Ungerade Anzahl von Werten
Berechne: Oberes Quartil Q3
1. Sortieren
2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6
Sortiert:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2. Position berechnen
Position zwischen 8. und 9. Wert
3. Q3 bestimmen
8. Wert = 7
9. Wert = 8
\[Q_3 = 7 + 0.25(8-7)\] \[= \color{blue}{7.25}\]Beispiel 2: Five-Number-Summary und Boxplot
Bestimme alle fünf Kennzahlen
Five-Number-Summary
| Minimum: | 12 |
| Q1 (25%): | 18 |
| Q2 (50%, Median): | 28 |
| Q3 (75%): | 40 |
| Maximum: | 50 |
Weitere Kennzahlen
| IQR: | Q3 - Q1 = 40 - 18 = 22 |
| Untere Grenze: | Q1 - 1.5·IQR = -15 |
| Obere Grenze: | Q3 + 1.5·IQR = 73 |
| Alle Werte liegen innerhalb der Grenzen → Keine Ausreißer | |
Interpretation
Q3 = 40: 75% der Werte liegen bei oder unter 40.
IQR = 22: Die mittleren 50% der Daten haben eine Spannweite von 22.
Q3 - Q2 = 12: Die obere Hälfte der Daten ist etwas weiter gestreut als die untere Hälfte (Q2 - Q1 = 10).
Dies deutet auf eine leicht rechtsschiefe Verteilung hin.
Beispiel 3: Ausreißererkennung mit Q3
Ist 95 ein Ausreißer?
Quartile berechnen
| Q1: | 15 |
| Q2 (Median): | 21 |
| Q3: | 28 |
| IQR: | 28 - 15 = 13 |
Ausreißertest
Obere Grenze:
Q3 + 1.5 · IQR
= 28 + 1.5 · 13
= 28 + 19.5
= 47.5
95 > 47.5
→ 95 ist ein Ausreißer!
Quantil-Berechnungsmethoden
Es gibt neun verschiedene Methoden zur Berechnung von Quartilen und Perzentilen. Diese Methoden unterscheiden sich in der Art der Interpolation zwischen Datenpunkten.
Standard (Type 6)
Lineare Interpolation der Erwartungen für Ordnungsstatistik.
Verwendet von: Excel, SAS-4, SciPy-(0,0), Maple-5
R (Type 7)
Lineare Interpolation der Modi für Ordnungsstatistik.
Verwendet von: R, Excel, SciPy-(1,1), Maple-6
Maple (Type 8)
Lineare Interpolation der ungefähren Mediane.
Verwendet von: Maple-7, SciPy-(1/3,1/3)
Alle neun Methoden im Detail:
| Methode | Beschreibung | Äquivalent zu |
|---|---|---|
| Type 1 | Umkehrung der empirischen Verteilungsfunktion | R-1, SAS-3, Maple-1 |
| Type 2 | Wie Type 1, jedoch mit Mittelung an Diskontinuitäten | R-2, SAS-5, Maple-2 |
| Type 3 | Zählen der Daten am nächsten zu Np | R-3, SAS-2 |
| Type 4 | Lineare Interpolation der empirischen Verteilungsfunktion | R-4, SAS-1, SciPy-(0,1), Maple-3 |
| Type 5 | Stückweise lineare Funktion mit Knoten in Stufenmitte | R-5, SciPy-(.5,.5), Maple-4 |
| Type 6 | Lineare Interpolation der Erwartungen für Ordnungsstatistik (Standard) | R-6, Excel, SAS-4, SciPy-(0,0), Maple-5 |
| Type 7 | Lineare Interpolation der Modi für Ordnungsstatistik (R-Standard) | R-7, Excel, SciPy-(1,1), Maple-6 |
| Type 8 | Lineare Interpolation der ungefähren Mediane (Maple-Standard) | R-8, SciPy-(1/3,1/3), Maple-7 |
| Type 9 | Ungefähr unverzerrt für erwartete Ordnungsstatistik (Normalverteilung) | R-9, SciPy-(3/8,3/8), Maple-8 |
Empfehlung
Die Standard-Methode (Type 6) ist für die meisten Anwendungen geeignet. Für Kompatibilität mit R verwenden Sie Type 7. Die Wahl der Methode hat normalerweise nur bei kleinen Datensätzen einen signifikanten Einfluss. Bei großen Datensätzen konvergieren alle Methoden zu ähnlichen Ergebnissen.
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