Min, Max und Spannweite berechnen
Online Rechner für deskriptive Statistik: Minimum, Maximum, Spannweite, Anzahl, Mittelwert und Quartilsabstand
Statistik Rechner
Deskriptive Statistik
Berechne die wichtigsten Lagemaße und Streuungsmaße einer Datenreihe: Minimum, Maximum, Spannweite, Anzahl, Mittelwert und Quartilsabstand.
Datenverteilung
Visualisierung der statistischen Kennzahlen
Minimum, Maximum, Spannweite und Quartilsabstand zeigen die Datenverteilung
● Minimum ● Quartile ● Median ● Maximum
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Deskriptive Statistik - Grundlagen
Die deskriptiven Statistiken sind fundamentale Kennzahlen zur Charakterisierung von Datenmengen:
- Minimum (Min): Der kleinste Wert in der Datenreihe
- Maximum (Max): Der größte Wert in der Datenreihe
- Spannweite (Range): Der Unterschied zwischen Maximum und Minimum (Max - Min)
- Anzahl (n): Die Gesamtzahl der Datenpunkte
- Mittelwert (Ø): Das arithmetische Mittel aller Werte
- Quartilsabstand (IQR): Der Abstand zwischen dem 3. und 1. Quartil (Q3 - Q1)
Berechnung der Kennzahlen
Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Berechnung:
Minimum
- Der kleinste Wert der Datenreihe
- Min = min(x₁, x₂, ..., xₙ)
- Beispiel: Bei [3, 1, 7, 5] → Min = 1
Maximum
- Der größte Wert der Datenreihe
- Max = max(x₁, x₂, ..., xₙ)
- Beispiel: Bei [3, 1, 7, 5] → Max = 7
Spannweite
- Der Unterschied zwischen Max und Min
- Range = Max - Min
- Beispiel: Bei [3, 1, 7, 5] → Range = 7 - 1 = 6
Anzahl
- Die Summe aller Datenpunkte
- n = Länge der Datenreihe
- Beispiel: Bei [3, 1, 7, 5] → n = 4
Mittelwert
- Das arithmetische Mittel
- Ø = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
- Beispiel: Bei [3, 1, 7, 5] → Ø = 16/4 = 4
Quartilsabstand
- Differenz zwischen 3. und 1. Quartil
- IQR = Q3 - Q1
- Enthält die mittleren 50% der Daten
Anwendungen und Bedeutung
Diese statistischen Maße finden in vielen praktischen Anwendungen Verwendung:
Explorative Datenanalyse
- Schnelle Übersicht über Datenverteilung
- Erkennung von Ausreißern (außerhalb Min-Max)
- Boxplot-Visualisierung
- Datenqualitätsprüfung
Praktische Anwendungen
- Qualitätskontrolle in der Produktion
- Finanzielle Risikoanalyse
- Klimadatenanalyse (Min/Max Temperaturen)
- Messgenauigkeitsanalyse
Formeln und Definitionen
Minimum
Der kleinste Wert in der Datenreihe
Maximum
Der größte Wert in der Datenreihe
Spannweite (Range)
Der Unterschied zwischen Maximum und Minimum
Arithmetisches Mittel
Das Durchschnitt aller Werte
Quartilsabstand (IQR)
Die mittleren 50% der Daten (zwischen 25. und 75. Perzentil)
Five-Number Summary
Vollständige Zusammenfassung der Datenverteilung
Symbolerklärungen
| \(x_i\) | i-ter Datenpunkt |
| \(n\) | Anzahl der Daten |
| \(Q_1\) | 1. Quartil (25%) |
| \(Q_3\) | 3. Quartil (75%) |
| \(\overline{x}\) | Mittelwert |
| \(R\) | Spannweite |
Beispielrechnungen
Beispiel 1: Noten einer Prüfung
Berechne: Alle deskriptiven Statistiken
1. Daten sortieren
Aufsteigende Sortierung erforderlich für Min/Max
2. Min & Max bestimmen
Min ist der 1. Wert, Max ist der letzte Wert
3. Anzahl & Mittelwert
Durchschnitt aller Werte
4. Quartile & IQR
Die mittleren 50% der Daten
Beispiel 2: Tagestemperaturen einer Woche (in °C)
Berechne: Temperaturbereich und durchschnittliche Temperatur
Ergebnisse
Minimum
18°C
Maximum
25°C
Spannweite
7°C
Mittelwert
21.71°C
Anzahl Tage
7
Beispiel 3: Vergleich von Datensätzen
Datensatz A: 10, 20, 30, 40, 50 → Min=10, Max=50, Range=40, Ø=30
Datensatz B: 25, 26, 30, 34, 35 → Min=25, Max=35, Range=10, Ø=30
Beide haben denselben Mittelwert, aber unterschiedliche Spannweiten! Datensatz A ist viel breiter verteilt.
Mathematische Grundlagen
Die deskriptiven Statistiken bilden die Grundlage der explorativen Datenanalyse und sind essenziell für das Verständnis von Datenverteilungen.
Eigenschaften der Lagemaße
- Invarianz: Min und Max sind unter monotonen Transformationen nicht invariant, ändern sich aber vorhersehbar
- Robustheit: Min und Max sind nicht robust gegenüber Ausreißern (ein extremer Wert ändert sie)
- Einfachheit: Diese Maße sind intuituiv verständlich und leicht zu berechnen
- Information: Die Spannweite gibt Auskunft über die Variabilität der Daten
Five-Number Summary
Die Five-Number Summary ist ein Konzept zur vollständigen Charakterisierung einer Verteilung:
Die fünf Zahlen
- Minimum: 0. Perzentil
- Q₁: 25. Perzentil (unteres Quartil)
- Median: 50. Perzentil (2. Quartil)
- Q₃: 75. Perzentil (oberes Quartil)
- Maximum: 100. Perzentil
Boxplot-Darstellung
Die Five-Number Summary wird typischerweise als Boxplot visualisiert: Die Box zeigt die mittleren 50% (IQR), die Linie in der Box ist der Median, und die Whisker zeigen Min und Max.
Quartile und Perzentile
Quartile sind Spezialfälle von Perzentilen:
- Q₁ (25. Perzentil): 25% der Daten liegen darunter
- Q₂ (50. Perzentil) = Median: 50% der Daten liegen darunter
- Q₃ (75. Perzentil): 75% der Daten liegen darunter
- IQR = Q₃ - Q₁: Die Spannweite der mittleren 50% der Daten
- Ausreißerschwellen: Werte < Q₁ - 1.5·IQR oder > Q₃ + 1.5·IQR gelten oft als Ausreißer
Praktische Bedeutung
Datenqualitätsprüfung
Min und Max zeigen den Wertebereich und helfen bei der Erkennung von unmöglichen Werten (z.B. negative Temperaturen, wo keine möglich sind).
Ausreißerdetektion
Der Quartilsabstand ist die Basis für die Ausreißerdetektion mittels der 1.5·IQR-Regel, eine der robustesten Methoden zur Erkennung von Anomalien.
Zusammenfassung
Diese fundamentalen statistischen Maße bilden die Basis der Datenanalyse. Sie sind leicht zu verstehen, schnell zu berechnen und geben einen schnellen Überblick über die Struktur und Verteilung von Daten. Zusammen mit dem Boxplot-Konzept bilden sie eine grundlegende Methode der explorativen Datenanalyse (EDA).
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