Perzentile berechnen
Online-Rechner für Perzentile, Quartile und verwandte statistische Maße: Minimum, Maximum, Mittelwert, Anzahl und Quartilsabstand
Perzentil-Rechner
Perzentil-Berechnung
Berechne das p-te Perzentil und verwandte statistische Maße: Minimum, Maximum, Mittelwert, Anzahl und Quartilsabstand. Gib den Perzentilwert als 25, 50, 75 oder 0,25, 0,50, 0,75 ein.
Perzentil-Verteilung
Visualisierung der Perzentil-Verteilung
Perzentile teilen Daten in gleiche Gruppen auf
● Min (0%) ● Q1 (25%) ● Median (50%) ● Q3 (75%) ● Max (100%)
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Perzentile verstehen - Grundlagen
Ein Perzentil ist ein statistisches Maß, das den Wert angibt, unter dem ein bestimmter Prozentsatz der Beobachtungen in einer Gruppe liegt.
- Perzentil-Definition: Das p-te Perzentil ist der Wert, unter dem p% der Daten liegen
- Quartile: Spezielle Perzentile, die Daten in vier gleiche Teile teilen (Q1=25%, Q2=50%, Q3=75%)
- Dezile: Perzentile bei 10%, 20%, ..., 90%, die Daten in zehn gleiche Teile teilen
- Interpolation: Wenn die genaue Position zwischen zwei Werten liegt, wird Interpolation (Typ-7/R-Methode) verwendet
- Position (h): Die Position h = (n-1)·p + 1 zeigt, wo das Perzentil in sortierten Daten liegt
Berechnung von Perzentilen
Schritt-für-Schritt-Erklärung zur Berechnung von Perzentilen mittels Typ-7 (R) Interpolation:
Schritt 1: Daten sortieren
- Alle Datenwerte in aufsteigender Reihenfolge anordnen
- Beispiel: [7, 3, 9, 1, 5] → [1, 3, 5, 7, 9]
- Index beginnt bei 1 (1-basierte Indizierung)
Schritt 2: Position berechnen
- Berechne h = (n - 1) · p + 1
- n = Anzahl der Werte, p = Perzentil (0-1)
- Beispiel: Für 50. Perzentil (p=0,5) und n=10: h = 9 · 0,5 + 1 = 5,5
Schritt 3: Interpolieren
- j = floor(h), g = h - j (Bruchteil)
- Ergebnis = (1-g) · x[j-1] + g · x[j]
- Lineare Interpolation zwischen zwei Werten
Schritt 4: Verwandte Statistiken
- Berechne Q1 (25. Perzentil)
- Berechne Q3 (75. Perzentil)
- Berechne IQR = Q3 - Q1
Anwendungen und Bedeutung
Perzentile werden in vielen praktischen Anwendungen verwendet:
Medizin & Gesundheit
- Wachstumskurven: Größen- und Gewichtsperzentile
- Bewertung von Testergebnissen
- Leistungs-Benchmarking
- Ausreißer-Detektion in Patientendaten
Finanz & Business
- Risikobewertung (Value at Risk)
- Einkommensverteilungsanalyse
- Marktdatenanalyse
- Leistungsevaluierung
Bildung
- Standardisierte Testergebnisse
- Notenverteilung
- Klassenrankings
- Leistungsvergleich
Produktion & Qualität
- Qualitätskontrollgrenzen
- Prozessfähigkeitsanalyse
- Toleranzangaben
- Six-Sigma-Methoden
Formeln und Definitionen
Perzentil (Typ-7/R)
h = Position, p = Perzentil (0-1), n = Anzahl der Daten
Quartile
Quartile teilen Daten in vier gleiche Teile
Quartilsabstand
Enthält die mittleren 50% aller Daten
Arithmetisches Mittel
Durchschnitt aller Werte
Erklärung der Symbole
| \(p\) | Perzentil (0-1) |
| \(n\) | Anzahl der Datenpunkte |
| \(h\) | Position in sortierten Daten |
| \(g\) | Bruchteil (0-1) |
| \(x_i\) | i-ter Datenpunkt |
| \(IQR\) | Quartilsabstand |
Beispielrechnungen
Beispiel 1: Testergebnisse (10 Schüler)
Berechne: 25., 50., 75. Perzentile und IQR
1. Daten vorbereiten
Daten bereits in aufsteigender Reihenfolge sortiert
2. Berechne Q1 (25.)
Zwischen x[2]=58 und x[3]=63
3. Berechne Q2 (50./Median)
Zwischen x[4]=71 und x[5]=75
4. Berechne Q3 & IQR
Quartilsabstand enthält die mittleren 50%
Beispiel 2: Mitarbeitergehälter (in 1000 €)
Berechne: 90. Perzentil zur Identifikation der Top-Verdiener
Ergebnisse für häufige Perzentile
10. Perzentil
39.1
25. Perzentil (Q1)
48.25
75. Perzentil (Q3)
82.75
90. Perzentil
108.1
Beispiel 3: Interpretation
Wenn ein Testergebnis im 75. Perzentil liegt: Dies bedeutet, dass 75% aller Testteilnehmer gleich viel oder weniger erzielt haben, und nur 25% haben mehr erzielt.
Wenn die Größe im 50. Perzentil liegt (Median): Die Hälfte der Bevölkerung ist kleiner und die Hälfte ist größer als diese Größe.
Mathematische Grundlagen
Perzentile sind fundamentale Konzepte der Statistik zur Analyse und zum Vergleich von Datenverteilungen. Sie bieten kontextunabhängige Maße zum Verständnis der relativen Position innerhalb eines Datensatzes.
Typen von Perzentil-Methoden
Es gibt 9 verschiedene Methoden zur Berechnung von Perzentilen, wobei Typ-7 (R/Standard) am häufigsten verwendet wird:
- Typ-1 bis Typ-3: Inverse der empirischen Verteilung (diskontinuierlich)
- Typ-4 bis Typ-9: Lineare Interpolationsmethoden (kontinuierlich)
- Typ-7 (R/Standard): Standard in R, SAS und den meisten statistischen Programmen
- Typ-5 (Maple): Alternative lineare Interpolation
Wichtige Eigenschaften von Perzentilen
- Monotonität: Wenn p₁ < p₂, dann P_{p₁} ≤ P_{p₂}
- Grenzen: min(x) = P₀ und max(x) = P₁
- Median: P_{0.5} ist das 50. Perzentil (Median)
- Robustheit: Perzentile sind robuster gegen Ausreißer als der Mittelwert
- Skalierbarkeit: Perzentile skalieren mit den Daten (multipliziere mit k, Perzentile multiplizieren sich mit k)
Beziehung zu anderen Statistiken
Box-and-Whisker-Diagramm
Verwendet die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung: Min, Q1 (25%), Q2 (50%), Q3 (75%), Max. Visualisiert die Verteilung auf Basis von Perzentilen.
Ausreißer-Detektion
Werte < Q1 - 1,5·IQR oder > Q3 + 1,5·IQR gelten als Ausreißer. Perzentil-basierte Detektion ist robust und verteilungsfrei.
Häufige Perzentil-Anwendungen
Dezile: 10%, 20%, ..., 90% (10 gleiche Gruppen)
Perzentile: 1%, 2%, ..., 99% (100 gleiche Gruppen)
Finanzwesen (VaR): 1%, 5% Perzentile für Risikoanalyse
Prüfungen: Rang-Perzentile für Bewertung
Zusammenfassung
Perzentile bieten eine leistungsstarke, verteilungsfreie Methode zum Verständnis und Vergleich von Daten. Sie sind besonders nützlich für nicht-normale Verteilungen und haben intuitive Interpretationen. Zusammen mit anderen Maßen bilden Perzentile die Grundlage der modernen explorativen Datenanalyse.
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