Airy-Funktionen für komplexe Zahlen

Berechnung von Ai(z) und Bi(z) - Lösungen der Airy-Differentialgleichung

Airy-Funktionen Rechner

Airy-Funktionen

Die Airy-Funktionen Ai(z) und Bi(z) sind zwei linear unabhängige Lösungen der Airy-Differentialgleichung \(y'' - zy = 0\). Sie spielen eine wichtige Rolle in Optik, Quantenmechanik und Elektromagnetik.

Argument z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnisse
Ai(z) =
Bi(z) =

Airy-Funktionen - Eigenschaften

Differentialgleichung
\[y'' - zy = 0\]

Airy-Gleichung (Stokes-Gleichung)

Zwei Lösungen
Ai(z) und Bi(z)
sind linear unabhängig
Ai(z) 1. Art
Bi(z) 2. Art
Wichtige Eigenschaften
  • Ai(z) → 0 für z → +∞ (abklingend)
  • Bi(z) → ∞ für z → +∞ (wachsend)
  • Beide oszillieren für z < 0
  • Wronskische: \(W = Ai(z)Bi'(z) - Ai'(z)Bi(z) = \frac{1}{\pi}\)
Verwandte Funktionen

Reelle Zahlen:
Airy-Funktionen für reelle Zahlen →

Anwendungen
  • Optik: Lichtbeugung
  • Quantenmechanik: WKB-Näherung
  • Elektromagnetik: Wellenausbreitung
  • Astronomie: Kaustiken

Formeln zu den Airy-Funktionen

Die Airy-Funktionen können durch modifizierte Bessel-Funktionen ausgedrückt werden.

Ai(z) - Erste Art
\[Ai(z) = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{z}{3}}K_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right)\]

Mit modifizierter Bessel-Funktion \(K_{1/3}\)

Bi(z) - Zweite Art
\[Bi(z) = \sqrt{\frac{z}{3}}\left(I_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right) + I_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right)\right)\]

Mit modifizierten Bessel-Funktionen \(I_{\pm 1/3}\)

Airy-Funktionen - Detaillierte Beschreibung

Definition

Die Airy-Funktionen sind nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy (1801-1892) benannt, der sie in seinen Arbeiten zur Optik verwendete.

Airy-Differentialgleichung:
\[y'' - zy = 0\]
oder auch Stokes-Gleichung genannt.

Allgemeine Lösung:
\[y(z) = c_1 Ai(z) + c_2 Bi(z)\]
mit beliebigen Konstanten \(c_1, c_2\)

Ai(z) - Erste Art

Die Airy-Funktion erster Art Ai(z):

Verhalten:

  • Ai(z) → 0 für z → +∞ (exponentielles Abklingen)
  • Ai(z) oszilliert für z < 0
  • Ai(0) ≈ 0.35502805...
  • Ai'(0) ≈ -0.25881940...

Bi(z) - Zweite Art

Die Airy-Funktion zweiter Art Bi(z):

Verhalten:

  • Bi(z) → ∞ für z → +∞ (exponentielles Wachstum)
  • Bi(z) oszilliert für z < 0
  • Bi(0) ≈ 0.61492662...
  • Bi'(0) ≈ 0.44828835...

Wronskische Determinante

Wronskische:
\[W = Ai(z)Bi'(z) - Ai'(z)Bi(z) = \frac{1}{\pi}\]
ist konstant (unabhängig von z)!

Beziehungen

Symmetrie:
Ai(-z) und Bi(-z) sind komplexe Funktionen

Ableitungen:
Ai'(z) und Bi'(z) erfüllen ebenfalls die Airy-Gleichung

Physikalische Anwendungen

Optik:
• Lichtbeugung: Beugung an Kanten
• Kaustiken: Brennlinien und Brennflächen
• Regenbogen: Intensitätsverteilung
• Airy-Scheibchen: Beugungsmuster
Quantenmechanik:
• WKB-Näherung: Tunneleffekt
• Potentialtopf: Lineares Potential
• Energieniveaus: Nullstellen von Ai
• Streutheorie: Asymptotisches Verhalten

Weitere Anwendungen

Elektromagnetik

• Wellenausbreitung in Medien
• Elektromagnetische Felder
• Antennentheorie

Astronomie

• Kaustiken in Gravitationslinsen
• Lichtausbreitung
• Sternatmosphären

Mathematik

• Spezielle Funktionen
• Asymptotische Entwicklung
• Integralgleichungen

Historische Bedeutung

George Biddell Airy führte diese Funktionen 1838 ein, um die Intensitätsverteilung beim Durchtritt von Licht durch eine kreisförmige Öffnung zu beschreiben (Airy-Scheibchen). Die Funktionen erwiesen sich später als fundamental in vielen anderen Bereichen der Physik und Mathematik.

Integraldarstellungen

Ai(z) - Integralform
\[Ai(z) = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + zt\right)dt\]

Konvergiert für alle z

Kontourintegral
\[Ai(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C e^{t^3/3 - zt}dt\]

Mit geeignetem Integrationsweg C

Asymptotische Entwicklungen

Für z → +∞:

\[Ai(z) \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}z^{1/4}}e^{-\frac{2}{3}z^{3/2}}\]

Exponentielles Abklingen

Für z → -∞:

\[Ai(z) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}|z|^{1/4}}\sin\left(\frac{2}{3}|z|^{3/2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

Oszillatorisches Verhalten


Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye