Kosinus (cos) für komplexe Zahlen

Berechnung von cos(z) - trigonometrische Funktion im Komplexen

Kosinus-Rechner

Kosinus komplexer Zahlen

Der Kosinus cos(z) einer komplexen Zahl z = x + yi wird durch reelle und hyperbolische Funktionen berechnet. Er ist eine periodische Funktion mit Periode 2π und kann beliebig große Werte annehmen (nicht beschränkt auf [-1, 1]).

Winkel z = x + yi (Bogenmaß)
+
i
Berechnungsergebnis
cos(z) =
Für rein reelle Zahlen: |cos(x)| ≤ 1, für komplexe Zahlen kann |cos(z)| > 1 sein!

Kosinus - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\cos(z) = \cos(x)\cosh(y) - i\sin(x)\sinh(y)\]

Mit z = x + yi

Euler-Formel
\[\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\]
Periode 2π
Gerade Funktion cos(-z) = cos(z)
Wichtige Eigenschaften
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Gerade Funktion: cos(-z) = cos(z)
  • \(\cos^2(z) + \sin^2(z) = 1\) (Pythagoras)
  • Nicht beschränkt für komplexe z
Beziehungen
  • \(\cos(z) = \sin(z + \pi/2)\)
  • \(\cos(2z) = \cos^2(z) - \sin^2(z)\)
  • \(\cos(z \pm w) = \cos z \cos w \mp \sin z \sin w\)
  • \(\cosh(iz) = \cos(z)\)

Formeln zum Kosinus komplexer Zahlen

Der Kosinus cos(z) einer komplexen Zahl z = x + yi wird durch eine Kombination aus trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen berechnet.

Kartesische Form
\[\cos(x + yi) = \cos(x)\cosh(y) - i\sin(x)\sinh(y)\]

Realteil: \(\cos(x)\cosh(y)\)
Imaginärteil: \(-\sin(x)\sinh(y)\)

Euler-Formel
\[\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\]

Exponentialdarstellung

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: cos(3 + 5i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 3 + 5i

x = 3 (Realteil)

y = 5 (Imaginärteil)

Schritt 2: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \cos(3) \cdot \cosh(5)\)

\(= (-0.98999) \cdot (74.20995)\)

\(\approx -73.47\)

Schritt 3: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = -\sin(3) \cdot \sinh(5)\)

\(= -(0.14112) \cdot (74.20321)\)

\(\approx -10.47\)

Schritt 4: Ergebnis

\(\cos(3 + 5i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx -73.47 - 10.47i\)

Beobachtung

Der Betrag \(|\cos(3 + 5i)| \approx 74.21\) ist viel größer als 1! Dies ist typisch für komplexe Argumente mit großem Imaginärteil, da cosh(y) und sinh(y) exponentiell wachsen.

Weitere Beispiele

Beispiel 1: cos(0)

z = 0

\(\cos(0) = \cos(0)\cosh(0)\)

\(= 1 \cdot 1 = 1\)

Beispiel 2: cos(π)

z = π ≈ 3.1416

\(\cos(\pi) = \cos(\pi)\cosh(0)\)

\(= -1 \cdot 1 = -1\)

Beispiel 3: cos(i)

z = i (rein imaginär)

\(\cos(i) = \cos(0)\cosh(1)\)

\(= 1 \cdot \cosh(1) \approx 1.543\)

Beispiel 4: cos(π/2)

z = π/2 ≈ 1.5708

\(\cos(\pi/2) = \cos(\pi/2)\cosh(0)\)

\(\approx 0\)

Beispiel 5: cos(1 + i)

z = 1 + i

\(\text{Re} = \cos(1)\cosh(1) \approx 0.833\)
\(\text{Im} = -\sin(1)\sinh(1) \approx -0.989\)

\(\approx 0.833 - 0.989i\)

Beispiel 6: cos(2i)

z = 2i (rein imaginär)

\(\cos(2i) = \cosh(2)\)

\(\approx 3.762\)

Kosinus - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der Kosinus ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Für reelle Zahlen:
Im rechtwinkligen Dreieck:
\[\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\]

Wertebereich: [-1, 1]
Periode: 2π

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\cos(z) = \cos(x)\cosh(y) - i\sin(x)\sinh(y)\]

• Realteil: \(\cos(x)\cosh(y)\)
• Imaginärteil: \(-\sin(x)\sinh(y)\)
• Nicht beschränkt! Kann beliebig groß werden

Wichtige Eigenschaften

  • Periodizität: \(\cos(z + 2\pi) = \cos(z)\)
  • Gerade Funktion: \(\cos(-z) = \cos(z)\)
  • Pythagoras: \(\cos^2(z) + \sin^2(z) = 1\)
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\cos(z) = -\sin(z)\)

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\cos(z \pm w) = \cos z \cos w \mp \sin z \sin w\]
Doppelwinkel:
\[\cos(2z) = \cos^2(z) - \sin^2(z)\]
\[= 2\cos^2(z) - 1 = 1 - 2\sin^2(z)\]

Beziehung zu anderen Funktionen

• \(\cos(z) = \sin(z + \pi/2)\) (Phasenverschiebung)
• \(\cosh(iz) = \cos(z)\) (hyperbolisch ↔ trigonometrisch)
• \(\cos(iz) = \cosh(z)\) (Umkehrung)
• \(e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)\) (Euler-Formel)

Anwendungen

Physik
  • Schwingungen und Wellen
  • Wechselstrom
  • Fourier-Analyse
  • Quantenmechanik
Geometrie
  • Winkelberechnung
  • Drehungen
  • Polarkoordinaten
  • Vektorprojektion
Signalverarbeitung
  • Fourier-Transformation
  • Filter-Design
  • Modulation
  • Spektralanalyse
Wichtiger Unterschied: Reell vs. Komplex
Reelle Argumente (x ∈ ℝ):
  • Beschränkt: -1 ≤ cos(x) ≤ 1
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Gerade Funktion
Komplexe Argumente (z ∈ ℂ):
  • Nicht beschränkt! |cos(z)| kann beliebig groß werden
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Gerade Funktion

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye