Arkussinus (arcsin) für komplexe Zahlen

Berechnung von arcsin(z) - der Umkehrfunktion des Sinus

Arcsin-Rechner

Arkussinus (arcsin)

Der Arkussinus arcsin(z) ist die Umkehrfunktion des Sinus: Wenn \(\sin(w) = z\), dann ist \(w = \arcsin(z)\). Für komplexe Zahlen ist die Funktion mehrdeutig und hat unendlich viele Werte.

Sinuswert z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
arcsin(z) (Hauptwert) =
Die Funktion ist mehrdeutig: Alle Werte sind \(w + 2\pi k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

Arcsin - Eigenschaften

Formel
\[\arcsin(z) = -i\ln\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right)\]

Mit komplexem Logarithmus und Wurzel

Definition
\[\sin(\arcsin(z)) = z\]
Reelle Zahlen [-1, 1] → [-π/2, π/2]
Komplex Mehrdeutig
Wichtige Eigenschaften
  • Umkehrfunktion von sin(z)
  • Mehrdeutig: \(w + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)
  • Hauptwert: \(\text{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]\)
  • \(\arcsin(-z) = -\arcsin(z)\) (ungerade)
Beziehungen
  • \(\arcsin(z) + \arccos(z) = \frac{\pi}{2}\)
  • \(\arcsin(z) = \frac{\pi}{2} - \arccos(z)\)
  • \(\sin(\arcsin(z)) = z\) (Definition)
  • \(\arcsin(\sin(z)) = z + 2\pi k\)

Formeln zum Arkussinus komplexer Zahlen

Der Arkussinus arcsin(z) ist die Umkehrfunktion des Sinus und wird durch den komplexen Logarithmus definiert.

Hauptformel
\[\arcsin(z) = -i\ln\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right)\]

Mit \(\ln\) = komplexer Logarithmus

Alternative Form
\[\arcsin(z) = \frac{\pi}{2} - \arccos(z)\]

Beziehung zu arccos

Arkussinus - Detaillierte Beschreibung

Definition und Bedeutung

Der Arkussinus (auch Arcsin oder asin) ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion.

Definition:
\[\sin(\arcsin(z)) = z\]
Der Arkussinus gibt den Winkel (in Bogenmaß) zurück,
dessen Sinus den Wert z hat.

Notation:
arcsin(z), asin(z), oder \(\sin^{-1}(z)\)

Für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen \(x \in [-1, 1]\):

Wertebereich:

\[\arcsin(x) \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\]

• arcsin(1) = π/2 ≈ 1.5708 rad = 90°
• arcsin(0) = 0
• arcsin(-1) = -π/2 ≈ -1.5708 rad = -90°

Für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen ist arcsin mehrdeutig:

Mehrdeutigkeit:
Wenn \(w = \arcsin(z)\), dann sind auch
\[w + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
und
\[\pi - w + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
gültige Lösungen.

Hauptwert:
Der Hauptwert hat \(\text{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]\)

Wichtige Beziehungen

  • \(\arcsin(z) + \arccos(z) = \frac{\pi}{2}\)
  • \(\arcsin(-z) = -\arcsin(z)\) (ungerade Funktion)
  • \(\arcsin(\overline{z}) = \overline{\arcsin(z)}\)
  • \(\arcsin(z) = -i\ln(iz + \sqrt{1-z^2})\)

Vorsicht

Für komplexe z kann \(|\arcsin(z)|\) beliebig groß werden!
Die Funktion ist nur für \(|z| \leq 1\) reell.
Für \(|z| > 1\) ist arcsin(z) komplex.

Geometrische Bedeutung (reelle Zahlen)

Rechtwinkliges Dreieck:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist:
\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\]
Der Arkussinus berechnet den Winkel α aus diesem Verhältnis:
\[\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\]
Beispiel:
Gegenkathete: a = 3
Hypotenuse: c = 5
\[\sin(\alpha) = \frac{3}{5} = 0.6\]
\[\alpha = \arcsin(0.6) \approx 0.6435 \text{ rad}\]
\[\alpha \approx 36.87°\]

Umrechnung Bogenmaß ↔ Grad

Bogenmaß → Grad
\[\text{Grad} = \frac{\text{Bogenmaß} \cdot 180°}{\pi}\]

Beispiel: 0.6435 rad ≈ 36.87°

Grad → Bogenmaß
\[\text{Bogenmaß} = \frac{\text{Grad} \cdot \pi}{180°}\]

Beispiel: 30° = π/6 ≈ 0.5236 rad

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: arcsin(0.5)

Reelle Zahl: z = 0.5

\(\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}\)

≈ 0.5236 rad = 30°

Beispiel 2: arcsin(1)

Maximum: z = 1

\(\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\)

≈ 1.5708 rad = 90°

Beispiel 3: arcsin(-1)

Minimum: z = -1

\(\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\)

≈ -1.5708 rad = -90°

Beispiel 4: arcsin(0.4 + 0.3i)

Komplexe Zahl: z = 0.4 + 0.3i

Verwende Formel:

\(\arcsin(z) = -i\ln(iz + \sqrt{1-z^2})\)

Ergebnis: siehe Rechner oben

Beispiel 5: arcsin(2)

Außerhalb [-1,1]: z = 2

\(\arcsin(2) = -i\ln(2i + \sqrt{-3})\)

≈ 1.571 - 1.317i (komplex!)

Beispiel 6: arcsin(i)

Imaginäre Einheit: z = i

\(\arcsin(i) = -i\ln(i^2 + \sqrt{1-i^2})\)

≈ 0 + 0.881i

Spezielle Werte (reell)
arcsin(0)
= 0
arcsin(√2/2)
= π/4 = 45°
arcsin(√3/2)
= π/3 = 60°
arcsin(1)
= π/2 = 90°

Anwendungen

Geometrie
  • Winkelberechnung in Dreiecken
  • Projektion auf Einheitskreis
  • Bahnkurven und Trajektorien
  • Koordinatentransformationen
Physik
  • Schwingungen und Wellen
  • Pendelbewegung
  • Schräger Wurf (Anfangswinkel)
  • Optik (Snellius-Gesetz)
Mathematik
  • Komplexe Analysis
  • Integralrechnung
  • Differentialgleichungen
  • Fourier-Reihen

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye