Winkel (Argument) komplexer Zahlen
Berechnung von \(\arg(z)\) - dem Polarwinkel in der komplexen Ebene
Winkel-Rechner
Winkel (Argument) einer komplexen Zahl
Der Winkel \(\phi = \arg(z)\) ist der Polarwinkel zur positiven reellen Achse, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. Berechnet wird er mit \(\phi = \arctan(b/a)\), wobei der Quadrant beachtet werden muss.
Grafische Darstellung
Winkel als Zeiger
Der Winkel φ ist der Polarwinkel von der positiven reellen Achse zum Zeiger, gemessen gegen den Uhrzeigersinn.
Formeln zum Winkel komplexer Zahlen
Der Winkel (Argument) \(\phi = \arg(z)\) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) ist der Polarwinkel zur positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene.
Grundformel
⚠️ Quadrant muss beachtet werden!
Bessere Formel
Berücksichtigt automatisch alle Quadranten
Quadranten-Regeln
Winkelberechnung abhängig vom Quadranten
Quadrant I (a>0, b>0)
\(\phi = \arctan(b/a)\)
Bereich: 0° bis 90°
Beispiel: z = 3+4i → φ ≈ 53.13°
Quadrant II (a<0, b>0)
\(\phi = 180° + \arctan(b/a)\)
Bereich: 90° bis 180°
Beispiel: z = -3+4i → φ ≈ 126.87°
Quadrant III (a<0, b<0)
\(\phi = -180° + \arctan(b/a)\)
Bereich: -180° bis -90°
Beispiel: z = -3-4i → φ ≈ -126.87°
Quadrant IV (a>0, b<0)
\(\phi = \arctan(b/a)\)
Bereich: -90° bis 0°
Beispiel: z = 3-4i → φ ≈ -53.13°
Spezialfälle (auf den Achsen)
φ = 0°
φ = 90°
φ = ±180°
φ = -90°
Berechnungsbeispiele
Beispiel: \(\arg(4+3i)\)
Schritt 1: Quadrant bestimmen
a = 4 > 0
b = 3 > 0
→ Quadrant I
Schritt 2: Arctan berechnen
\(\phi = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(= \arctan(0.75)\)
\(\approx 36.87°\)
Schritt 3: Radiant umrechnen
\(\phi = 36.87° \times \frac{\pi}{180°}\)
\(\approx 0.6435\) rad
\(\approx 0.64\) rad
Schritt 4: Verifikation
Polarform: \(z = 5e^{i\cdot 0.64}\)
Rückrechnung:
a = 5·cos(36.87°) ≈ 4 ✓
b = 5·sin(36.87°) ≈ 3 ✓
Beispiel 2: \(\arg(1+i)\)
\(\arctan(1/1) = \arctan(1)\)
\(= 45° = \frac{\pi}{4}\)
Beispiel 3: \(\arg(-1+i)\)
Quadrant II
\(180° + \arctan(1/-1)\)
\(= 135° = \frac{3\pi}{4}\)
Beispiel 4: \(\arg(i)\)
z = 0+1i
Auf positiver imaginärer Achse
\(= 90° = \frac{\pi}{2}\)
Winkel komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung
Geometrische Bedeutung
Jede komplexe Zahl kann als Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden.
• Länge: Betrag \(|z|\)
• Richtung: Winkel \(\phi = \arg(z)\)
• Messung: Von positiver reeller Achse
• Drehsinn: Gegen den Uhrzeigersinn (positiv)
Winkelbereiche
Hauptwert (Principal Value):
Positive Winkel: Gegen Uhrzeigersinn
Negative Winkel: Im Uhrzeigersinn
atan2-Funktion
Die atan2-Funktion berücksichtigt automatisch alle Quadranten:
\[\text{atan2}(b, a) = \begin{cases} \arctan(b/a) & a > 0\\ \arctan(b/a) + \pi & a < 0, b \geq 0\\ \arctan(b/a) - \pi & a < 0, b < 0\\ +\pi/2 & a = 0, b > 0\\ -\pi/2 & a = 0, b < 0\\ \text{undefiniert} & a = 0, b = 0 \end{cases}\]
Wichtige Eigenschaften
- \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\) (Addition)
- \(\arg(z_1 / z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\) (Subtraktion)
- \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\) (Multiplikation mit n)
- \(\arg(\overline{z}) = -\arg(z)\) (Konjugierte)
- \(\arg(1/z) = -\arg(z)\) (Kehrwert)
Wichtiger Hinweis
Mehrdeutigkeit:
Der Winkel ist nur bis auf Vielfache von \(2\pi\) (360°) eindeutig!
\(\arg(z) = \phi + 2\pi k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)
Der Hauptwert wählt \(k=0\).
Praktische Anwendungen
• Elektrotechnik: Phasenverschiebung
• Signalverarbeitung: Frequenzanalyse
• Regelungstechnik: Nyquist-Diagramm
• Navigation: Richtungsbestimmung
• Polarkoordinaten: Winkeltransformation
• Komplexe Funktionen: Argumentprinzip
• Fourier-Transformation: Phase
• Vektorrechnung: Winkelberechnung
Weitere Komplexe Funktionen
Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye