Arkuskosinus (arccos) für komplexe Zahlen

Berechnung von arccos(z) - der Umkehrfunktion des Kosinus

Arccos-Rechner

Arkuskosinus (arccos)

Der Arkuskosinus arccos(z) ist die Umkehrfunktion des Kosinus: Wenn \(\cos(w) = z\), dann ist \(w = \arccos(z)\). Für komplexe Zahlen ist die Funktion mehrdeutig und hat unendlich viele Werte.

Kosinuswert z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
arccos(z) (Hauptwert) =
Die Funktion ist mehrdeutig: Alle Werte sind \(w + 2\pi k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

Arccos - Eigenschaften

Formel
\[\arccos(z) = -i\ln\left(z + \sqrt{z^2-1}\right)\]

Mit komplexem Logarithmus und Wurzel

Definition
\[\cos(\arccos(z)) = z\]
Reelle Zahlen [-1, 1] → [0, π]
Komplex Mehrdeutig
Wichtige Eigenschaften
  • Umkehrfunktion von cos(z)
  • Mehrdeutig: \(w + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)
  • Hauptwert: \(\text{Re}(w) \in [0, \pi]\)
  • \(\arccos(-z) = \pi - \arccos(z)\)
Beziehungen
  • \(\arccos(z) + \arcsin(z) = \frac{\pi}{2}\)
  • \(\arccos(z) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z)\)
  • \(\cos(\arccos(z)) = z\) (Definition)
  • \(\arccos(\cos(z)) = z + 2\pi k\)

Formeln zum Arkuskosinus komplexer Zahlen

Der Arkuskosinus arccos(z) ist die Umkehrfunktion des Kosinus und wird durch den komplexen Logarithmus definiert.

Hauptformel
\[\arccos(z) = -i\ln\left(z + \sqrt{z^2-1}\right)\]

Mit \(\ln\) = komplexer Logarithmus

Alternative Form
\[\arccos(z) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z)\]

Beziehung zu arcsin

Arkuskosinus - Detaillierte Beschreibung

Definition und Bedeutung

Der Arkuskosinus (auch Arccos oder acos) ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion.

Definition:
\[\cos(\arccos(z)) = z\]
Der Arkuskosinus gibt den Winkel (in Bogenmaß) zurück,
dessen Kosinus den Wert z hat.

Notation:
arccos(z), acos(z), oder \(\cos^{-1}(z)\)

Für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen \(x \in [-1, 1]\):

Wertebereich:

\[\arccos(x) \in [0, \pi]\]

• arccos(1) = 0
• arccos(0) = π/2 ≈ 1.5708
• arccos(-1) = π ≈ 3.1416

Für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen ist arccos mehrdeutig:

Mehrdeutigkeit:
Wenn \(w = \arccos(z)\), dann sind auch
\[w + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
gültige Lösungen.

Hauptwert:
Der Hauptwert hat \(\text{Re}(w) \in [0, \pi]\)

Wichtige Beziehungen

  • \(\arccos(z) + \arcsin(z) = \frac{\pi}{2}\)
  • \(\arccos(z) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z)\)
  • \(\cos(\arccos(z)) = z\) (Definition)
  • \(\arccos(\cos(z)) = z + 2\pi k\)

Vorsicht

Für komplexe z kann \(|\arccos(z)|\) beliebig groß werden!
Die Funktion ist nur für \(|z| \leq 1\) reell.
Für \(|z| > 1\) ist arccos(z) komplex.

Geometrische Bedeutung (reelle Zahlen)

Rechtwinkliges Dreieck:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist:
\[\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\]
Der Arkuskosinus berechnet den Winkel α aus diesem Verhältnis:
\[\alpha = \arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\]
Beispiel:
Ankathete: b = 6
Hypotenuse: c = 20
\[\cos(\alpha) = \frac{6}{20} = 0.3\]
\[\alpha = \arccos(0.3) \approx 1.266 \text{ rad}\]
\[\alpha \approx 72.54°\]

Umrechnung Bogenmaß ↔ Grad

Bogenmaß → Grad
\[\text{Grad} = \frac{\text{Bogenmaß} \cdot 180°}{\pi}\]

Beispiel: 1.266 rad ≈ 72.54°

Grad → Bogenmaß
\[\text{Bogenmaß} = \frac{\text{Grad} \cdot \pi}{180°}\]

Beispiel: 90° = π/2 ≈ 1.5708 rad

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: arccos(0.5)

Reelle Zahl: z = 0.5

\(\arccos(0.5) = \frac{\pi}{3}\)

≈ 1.047 rad = 60°

Beispiel 2: arccos(1)

Maximum: z = 1

\(\arccos(1) = 0\)

= 0 rad = 0°

Beispiel 3: arccos(-1)

Minimum: z = -1

\(\arccos(-1) = \pi\)

≈ 3.142 rad = 180°

Beispiel 4: arccos(0.4 + 0.3i)

Komplexe Zahl: z = 0.4 + 0.3i

Verwende Formel:

\(\arccos(z) = -i\ln(z + \sqrt{z^2-1})\)

Ergebnis: siehe Rechner oben

Beispiel 5: arccos(2)

Außerhalb [-1,1]: z = 2

\(\arccos(2) = -i\ln(2 + \sqrt{3})\)

≈ 0 - 1.317i (komplex!)

Beispiel 6: arccos(i)

Imaginäre Einheit: z = i

\(\arccos(i) = \frac{\pi}{2} - i\ln(1+\sqrt{2})\)

≈ 1.571 - 0.881i

Anwendungen

Geometrie
  • Winkelberechnung in Dreiecken
  • Vektorwinkel bestimmen
  • Skalarprodukt-Anwendungen
  • 3D-Geometrie
Physik
  • Wellenmechanik
  • Schwingungen
  • Elektrotechnik (Impedanz)
  • Optik (Brechungswinkel)
Mathematik
  • Komplexe Analysis
  • Integralrechnung
  • Differentialgleichungen
  • Fourier-Transformation

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye