Komplexe Zahlen Onlinerechner

Professionelle Online-Rechner für Berechnungen mit komplexen Zahlen z = x + yi

Grundlegende Funktionen

Betrag / Absolutwert
Berechnet |z| - die Länge des Vektors in der komplexen Ebene
Winkel (Argument)
Berechnet arg(z) - den Winkel zur positiven reellen Achse
Polarform
Konvertiert z = x + yi in Polarform z = r·e^(iφ)
Konjugierte
Spiegelung an der reellen Achse: z̄ = x - yi
Multiplikation
Multipliziert zwei komplexe Zahlen z₁ · z₂
Division
Dividiert zwei komplexe Zahlen z₁ / z₂
Potenz
Berechnet z^n für beliebige Exponenten n
Exponentialfunktion
Berechnet e^z mit der Euler-Formel
Quadratwurzel
Berechnet √z - die Hauptwurzel der komplexen Zahl
n-te Wurzel
Berechnet ⁿ√z - alle n Wurzeln einer komplexen Zahl
Reziproker Wert
Berechnet 1/z - den Kehrwert der komplexen Zahl
Natürlicher Logarithmus
Berechnet ln(z) - der natürliche Logarithmus zur Basis e
Logarithmus zur Basis 10
Berechnet log₁₀(z) - Dekadischer Logarithmus

Trigonometrische Funktionen

Sinus (sin)
Berechnet sin(z) für komplexe Argumente
Kosinus (cos)
Berechnet cos(z) für komplexe Argumente
Tangens (tan)
Berechnet tan(z) = sin(z)/cos(z) mit Polstellen
Arkussinus (asin)
Umkehrfunktion des Sinus: arcsin(z)
Arkuskosinus (acos)
Umkehrfunktion des Kosinus: arccos(z)
Arkustangens (atan)
Umkehrfunktion des Tangens: arctan(z)

Hyperbolische Funktionen

Sinus hyperbolicus (sinh)
Berechnet sinh(z) = (e^z - e^(-z))/2
Kosinus hyperbolicus (cosh)
Berechnet cosh(z) = (e^z + e^(-z))/2 - die Kettenlinie
Tangens hyperbolicus (tanh)
Berechnet tanh(z) = sinh(z)/cosh(z) - Sigmoidfunktion

Spezielle Funktionen

Airy-Funktion Ai(z)
Lösung der Airy-Differentialgleichung - wichtig in der Quantenmechanik
Abgeleitete Airy-Funktion Ai'(z)
Erste Ableitung der Airy-Funktion

Bessel-Funktionen

Bessel-J (Erste Art)
Jᵥ(z) - Bessel-Funktion der ersten Art, Ordnung v
Bessel-Y (Zweite Art)
Yᵥ(z) - Bessel-Funktion der zweiten Art (Neumann-Funktion)
Bessel-I (Modifiziert, Erste Art)
Iᵥ(z) - Modifizierte Bessel-Funktion der ersten Art
Bessel-K (Modifiziert, Zweite Art)
Kₙ(x) - Modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art
Bessel-Je (Skaliert)
Exponentiell skalierte Bessel-J Funktion
Bessel-Ye (Skaliert)
Logarithmisch skalierte Bessel-Y Funktion
Bessel-Ie (Skaliert)
Exponentiell skalierte modifizierte Bessel-I Funktion
Bessel-Ke (Skaliert)
Logarithmisch skalierte modifizierte Bessel-K Funktion

Über komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i mit i² = -1. Sie haben die Form z = x + yi, wobei x der Realteil und y der Imaginärteil ist. Diese Rechner helfen beim Verstehen und Berechnen von:

  • Darstellungen - Kartesisch, polar, exponentiell
  • Grundoperationen - Addition, Multiplikation, Division
  • Funktionen - Trigonometrisch, hyperbolisch, exponentiell
  • Anwendungen - Elektrotechnik, Quantenmechanik
  • Spezialfunktionen - Bessel, Airy, und mehr
  • Visualisierung - Gaußsche Zahlenebene
Wichtige Formeln und Konzepte
Euler-Formel
e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)
Fundamentale Verbindung zwischen Exponential- und trigonometrischen Funktionen
Betrag und Winkel
|z| = √(x² + y²), arg(z) = arctan(y/x)
Polardarstellung: z = |z|·e^(i·arg(z))
Konjugierte
z̄ = x - yi
Wichtig: z·z̄ = |z|², Re(z) = (z+z̄)/2
De Moivre-Formel
(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)
Für Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Tipp: Komplexe Zahlen sind fundamental in der Elektrotechnik (Wechselstromrechnung), Quantenmechanik (Wellenfunktionen), Signalverarbeitung (Fourier-Transformation) und vielen anderen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften.
Schnellreferenz
i² = -1
Imaginäre Einheit
z = 3+4i
Kartesisch
|z| = 5
Betrag
z̄ = 3-4i
Konjugierte
e^(iπ) = -1
Euler-Identität
Anwendungen
Elektrotechnik:
Wechselstromrechnung mit Impedanzen
Quantenmechanik:
Wellenfunktionen und Operatoren
Signalverarbeitung:
Fourier-Transformation und Filter
Strömungsmechanik:
Potentialströmungen
Geschichte
16. Jahrhundert:
Cardano nutzt √(-1) zur Lösung kubischer Gleichungen
1777:
Euler führt die Notation i ein
1806:
Gauß entwickelt die geometrische Interpretation
Heute:
Unverzichtbar in Wissenschaft und Technik
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