Betrag einer Komplexen Zahl

Diese Funktion berechnet den Betrag einer komplexen Zahl. Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene.

Formeln zum Betrag einer komplexen Zahl

In dem Artikel über die Gaußsche Zahlenebene wurde beschrieben, dass sich jeder komplexen Zahl \(z\) eindeutig ein Vektor zuordnen lässt. Die Länge des Vektors hat eine besondere Bezeichnung bei den komplexen Zahlen. Man spricht von dem Betrag oder dem Absolutwert der komplexen Zahl

Die Abbildung oben zeigt die grafische Darstellung der komplexen Zahl.

Bei der Darstellung mittels Ortsvektoren ergibt sich immer ein rechtwinkliges Dreieck, das aus den beiden Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(z\) besteht. Der Betrag oder Wert einer komplexen Zahl entspricht der Länge des Ortsvektors.

Der Betrag einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) ist also:

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{Re^2 + Im^2}\)

Beispiele

Berechnung des Betrags der komplexe Zahl \(z = 3 - 4i\)

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)

Es gilt auch

\(|z|=\sqrt{z·\overline{z}}=\sqrt{(3-4i)·(3+4i)}=\sqrt{25}=5\)

Beachten Sie, dass der Betrag bei \(3 + 4i\) als auch \(3 – 4i\) positiv ist. Der Betrag von komplexen und reellen Zahlen ist immer ein positiver Wert.

Der Betrag wird auch als Absolutwert bezeichnet. Daher wird in den meisten Programmiersprachen oder Mathematiksoftware der Name Abs für die Funktion zur Bestimmung des Betrags abgeleitet.