Betrag einer komplexen Zahl
Onlinerechner und Formeln zur Berechnung des Absolutwerts einer komplexen Zahl
Betrag Rechner
Betrag einer komplexen Zahl
Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene, berechnet mit dem Satz des Pythagoras.
Grafische Darstellung
Vektor in der Gaußschen Ebene
Die komplexe Zahl wird als Vektor dargestellt. Der Betrag entspricht der Länge dieses Vektors.
Formeln zum Betrag einer komplexen Zahl
Der Betrag (auch Absolutwert oder Modulus) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) ist die Länge des zugehörigen Ortsvektors in der Gaußschen Zahlenebene.
Standarddefinition
Pythagoras-Formel für den Abstand vom Ursprung
Konjugierte Darstellung
Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl
Eigenschaften des Betrags
Grundeigenschaften
- \(|z| \geq 0\) für alle \(z \in \mathbb{C}\)
- \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\)
- \(|z| = |\overline{z}|\) (Betrag der konjugierten Zahl)
- \(|-z| = |z|\) (Betrag der negierten Zahl)
Rechenregeln
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) (Produktregel)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) für \(z_2 \neq 0\)
- \(|z^n| = |z|^n\) (Potenzregel)
- \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\) (Dreiecksungleichung)
Berechnungsbeispiele
Beispiel 1: z = 3 + 4i
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Dies ist ein klassisches Beispiel mit der 3-4-5 pythagoräischen Tripel.
Beispiel 2: z = 3 - 4i
\(|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Der Betrag ist identisch mit Beispiel 1, da \(|z| = |\overline{z}|\).
Beispiel 3: Konjugierte Darstellung
\(|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{(3-4i) \cdot (3+4i)} = \sqrt{9 - 16i^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Die konjugierte Darstellung nutzt die Eigenschaft \(z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2\).
Betrag einer komplexen Zahl - Detaillierte Beschreibung
Geometrische Interpretation
In der Gaußschen Zahlenebene wird jede komplexe Zahl \(z = a + bi\) durch einen Punkt mit Koordinaten \((a, b)\) dargestellt.
• Realteil \(a\) = x-Koordinate (horizontale Achse)
• Imaginärteil \(b\) = y-Koordinate (vertikale Achse)
• Betrag \(|z|\) = Abstand vom Ursprung (0,0)
• Der Vektor vom Ursprung zum Punkt bildet ein rechtwinkliges Dreieck
Pythagoras-Satz
Der Betrag ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten \(a\) und \(b\) und Hypotenuse \(c\) gilt: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Wichtiger Hinweis
Der Betrag ist immer positiv (oder Null), unabhängig von den Vorzeichen von Realteil und Imaginärteil. Es gilt: \(|z| = |-z| = |\overline{z}| = |-\overline{z}|\)
Praktische Anwendungen
Der Betrag einer komplexen Zahl findet Anwendung in vielen Bereichen:
• Elektrotechnik: Impedanz und Wechselstromrechnungen
• Signalverarbeitung: Amplitude von Frequenzkomponenten
• Mathematik: Konvergenz von Folgen und Reihen
• Physik: Amplituden von Schwingungen und Wellen
Programmierung
Der Betrag wird in Programmiersprachen oft als Abs() (von "Absolute value")
oder Magnitude() bezeichnet.
Code-Beispiele
abs(3+4j) → 5.0MATLAB:
abs(3+4i) → 5C#:
Complex.Abs(new Complex(3,4)) → 5JavaScript:
Math.hypot(3,4) → 5
Spezialfälle
- Reelle Zahlen: \(|a + 0i| = |a|\) (klassischer Absolutwert)
- Imaginäre Zahlen: \(|0 + bi| = |b|\)
- Null: \(|0 + 0i| = 0\)
- Einheitskreis: Alle Zahlen mit \(|z| = 1\)
|
|
Weitere Komplexe Funktionen
Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye