Hyperbolischer Kosinus (cosh) für komplexe Zahlen

Berechnung von cosh(z) - hyperbolische Funktion im Komplexen

Cosh-Rechner

Hyperbolischer Kosinus

Der hyperbolische Kosinus cosh(z) einer komplexen Zahl z = x + yi kombiniert hyperbolische und trigonometrische Funktionen. Er wächst exponentiell und ist eng mit der Exponentialfunktion verwandt: \(\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\)

Argument z = x + yi
+
i
Berechnungsergebnis
cosh(z) =
cosh(z) wächst exponentiell für große |Re(z)| und kann sehr große Werte annehmen!

Cosh - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\cosh(z) = \cosh(x)\cos(y) + i\sinh(x)\sin(y)\]

Mit z = x + yi

Exponentialdarstellung
\[\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\]

Mittelwert der Exponentialfunktionen

Gerade Funktion cosh(-z) = cosh(z)
Minimum cosh(0) = 1
Wichtige Eigenschaften
  • Gerade Funktion: cosh(-z) = cosh(z)
  • \(\cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1\)
  • Minimum: cosh(0) = 1
  • Wächst exponentiell für |z| → ∞
Beziehungen
  • \(\cosh(iz) = \cos(z)\)
  • \(\cosh(2z) = \cosh^2(z) + \sinh^2(z)\)
  • \(\cosh(z \pm w) = \cosh z \cosh w \pm \sinh z \sinh w\)
  • \(\frac{d}{dz}\cosh(z) = \sinh(z)\)

Formeln zum hyperbolischen Kosinus komplexer Zahlen

Der hyperbolische Kosinus cosh(z) einer komplexen Zahl z = x + yi kombiniert hyperbolische Funktionen (cosh, sinh) mit trigonometrischen Funktionen (cos, sin).

Kartesische Form
\[\cosh(x + yi) = \cosh(x)\cos(y) + i\sinh(x)\sin(y)\]

Realteil: \(\cosh(x)\cos(y)\)
Imaginärteil: \(\sinh(x)\sin(y)\)

Exponentialform
\[\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\]

Mittelwert der Exponentialfunktionen

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: cosh(3 + 5i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 3 + 5i

x = 3 (Realteil)

y = 5 (Imaginärteil)

Schritt 2: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \cosh(3) \cdot \cos(5)\)

\(= (10.0677) \cdot (0.28366)\)

\(\approx 2.856\)

Schritt 3: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = \sinh(3) \cdot \sin(5)\)

\(= (10.0179) \cdot (-0.95892)\)

\(\approx -9.606\)

Schritt 4: Ergebnis

\(\cosh(3 + 5i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx 2.856 - 9.606i\)

Beobachtung

Der Betrag \(|\cosh(3 + 5i)| \approx 10.02\) ist deutlich größer als 1. Der hyperbolische Kosinus wächst exponentiell mit dem Realteil x.

Weitere Beispiele

Beispiel 1: cosh(0)

z = 0

\(\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2}\)

\(= \frac{1 + 1}{2} = 1\)

Beispiel 2: cosh(1)

z = 1 (reell)

\(\cosh(1) = \frac{e + e^{-1}}{2}\)

\(\approx 1.543\)

Beispiel 3: cosh(i)

z = i (rein imaginär)

\(\cosh(i) = \cos(1)\)

\(\approx 0.540\)

Beispiel 4: cosh(πi)

z = πi

\(\cosh(\pi i) = \cos(\pi)\)

\(= -1\)

Beispiel 5: cosh(2 + i)

z = 2 + i

\(\text{Re} = \cosh(2)\cos(1) \approx 2.033\)
\(\text{Im} = \sinh(2)\sin(1) \approx 3.166\)

\(\approx 2.033 + 3.166i\)

Beispiel 6: cosh(-2)

z = -2 (reell, negativ)

\(\cosh(-2) = \cosh(2)\) (gerade!)

\(\approx 3.762\)

Hyperbolischer Kosinus - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der hyperbolische Kosinus ist eine der hyperbolischen Funktionen, analog zum trigonometrischen Kosinus.

Exponentialdarstellung:
\[\cosh(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\]

Für reelle Zahlen:
\[\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]
Wertebereich: [1, ∞)
Minimum bei x = 0: cosh(0) = 1

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\cosh(z) = \cosh(x)\cos(y) + i\sinh(x)\sin(y)\]

• Realteil: \(\cosh(x)\cos(y)\)
• Imaginärteil: \(\sinh(x)\sin(y)\)
• Wächst exponentiell mit |Re(z)|

Wichtige Eigenschaften

  • Gerade Funktion: \(\cosh(-z) = \cosh(z)\)
  • Hyperbolische Identität: \(\cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1\)
  • Minimum: cosh(0) = 1
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\cosh(z) = \sinh(z)\)

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\cosh(z \pm w) = \cosh z \cosh w \pm \sinh z \sinh w\]
Doppelargument:
\[\cosh(2z) = \cosh^2(z) + \sinh^2(z)\]
\[= 2\cosh^2(z) - 1 = 2\sinh^2(z) + 1\]

Beziehung zu trigonometrischen Funktionen

• \(\cosh(iz) = \cos(z)\) (wichtige Verbindung!)
• \(\cos(iz) = \cosh(z)\) (Umkehrung)
• \(e^z = \cosh(z) + \sinh(z)\)
• \(e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z)\)

Verhalten und Wachstum

Exponentielles Wachstum

Für große |x|:

\[\cosh(x) \approx \frac{e^{|x|}}{2}\]

Der hyperbolische Kosinus wächst exponentiell!
z.B.: cosh(5) ≈ 74.2, cosh(10) ≈ 11013.2

Minimumstelle

Für reelle Zahlen hat cosh ein Minimum:

\[\min_{x \in \mathbb{R}} \cosh(x) = \cosh(0) = 1\]

Für alle x ∈ ℝ gilt: cosh(x) ≥ 1

Anwendungen

Mathematik
  • Hyperbolische Geometrie
  • Kettenlinie (Seil, Kette)
  • Differentialgleichungen
  • Integralrechnung
Physik
  • Relativitätstheorie
  • Wärmeleitungsgleichung
  • Wellengleichungen
  • Elektromagnetismus
Ingenieurwesen
  • Brückenbau (Hängebrücken)
  • Strukturmechanik
  • Signalverarbeitung
  • Regelungstechnik
Die Kettenlinie

Die berühmteste Anwendung des hyperbolischen Kosinus ist die Kettenlinie (auch Katenoid genannt):

\[y(x) = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\]

Diese Kurve beschreibt die Form einer frei hängenden Kette oder eines Seils unter ihrem Eigengewicht. Sie ist optimal für Hängebrücken und Bögen, da sie die Spannung gleichmäßig verteilt.


Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
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