n-te Wurzel komplexer Zahlen

Berechnung von \(\sqrt[n]{z}\) - n verschiedene Lösungen für jede Wurzel

Wurzel-Rechner

n-te Wurzel komplexer Zahlen

Die n-te Wurzel \(\sqrt[n]{z} = z^{1/n}\) einer komplexen Zahl hat n verschiedene Lösungen, die gleichmäßig auf einem Kreis verteilt sind. Dieser Rechner liefert den Hauptwert.

Basis z = a + bi
+
i
Wurzelexponent n (reelle Zahl)
n
n=2: Quadratwurzel, n=3: Kubikwurzel, n=4: vierte Wurzel, usw.
Berechnungsergebnis
\(\sqrt[n]{z}\) (Hauptwert) =
Es gibt n verschiedene Lösungen! Dieser Rechner zeigt nur den Hauptwert (k=0).

n-te Wurzel - Eigenschaften

Formel in Polarform
\[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\]

Mit \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\) (n verschiedene Lösungen)

Hauptwert (k=0)
\[w_0 = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\phi/n}\]
Betrag \(\sqrt[n]{|z|}\)
Lösungen n Werte
n verschiedene Lösungen!

Die n-te Wurzel hat n verschiedene Lösungen:
\[w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\] mit \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
Diese liegen gleichmäßig auf einem Kreis!

Wichtige Eigenschaften
  • \((\sqrt[n]{z})^n = z\) (Definition)
  • \(|\sqrt[n]{z}| = \sqrt[n]{|z|}\) (Betrag)
  • \(\arg(\sqrt[n]{z}) = \frac{\arg(z)}{n}\) (Winkel geteilt durch n)
  • Winkelabstand: \(\frac{360°}{n}\) zwischen Lösungen
Spezialfälle
  • n=2: Quadratwurzel (2 Lösungen)
  • n=3: Kubikwurzel (3 Lösungen)
  • n=4: Vierte Wurzel (4 Lösungen)
  • n→∞: Unendlich viele Lösungen


Formeln zur n-ten Wurzel komplexer Zahlen

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl \(z\) ist definiert als \(\sqrt[n]{z} = z^{1/n}\) und hat n verschiedene Lösungen.

Polarform
Für \(z = re^{i\phi}\): \[w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\]

Mit \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)

Geometrische Verteilung
Winkelabstand: \(\frac{360°}{n}\)

Die Lösungen liegen gleichmäßig auf einem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]{r}\)

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: \(\sqrt[3]{8}\) (Kubikwurzel von 8)
Schritt 1: Polarform

z = 8 + 0i

r = |z| = 8

φ = arg(z) = 0°

Schritt 2: Hauptwert (k=0)

\(w_0 = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i \cdot 0/3}\)

\(= 2 \cdot e^{i \cdot 0}\)

\(= 2\)

Schritt 3: Weitere Lösungen

k=1: \(w_1 = 2e^{i \cdot 120°}\)

\(= 2(\cos 120° + i\sin 120°)\)

\(\approx -1 + 1.732i\)

k=2: \(w_2 = 2e^{i \cdot 240°}\)

\(= 2(\cos 240° + i\sin 240°)\)

\(\approx -1 - 1.732i\)

Alle 3 Lösungen:
\(w_0 = 2\)
Winkel: 0°
\(w_1 \approx -1 + 1.732i\)
Winkel: 120°
\(w_2 \approx -1 - 1.732i\)
Winkel: 240°
Verifikation

\(w_0^3 = 2^3 = 8\) ✓

\(w_1^3 = (-1+1.732i)^3 \approx 8\) ✓

\(w_2^3 = (-1-1.732i)^3 \approx 8\) ✓

Weitere Beispiele

Beispiel 1: \(\sqrt[4]{1}\) (4 Einheitswurzeln)

r = 1, φ = 0°

Winkelabstand: 360°/4 = 90°

\(w_0 = 1\) (0°)
\(w_1 = i\) (90°)
\(w_2 = -1\) (180°)
\(w_3 = -i\) (270°)

Beispiel 2: \(\sqrt[3]{-8}\)

r = 8, φ = 180°

Winkelabstand: 360°/3 = 120°

\(w_0 = 2e^{i60°} \approx 1 + 1.732i\)
\(w_1 = 2e^{i180°} = -2\)
\(w_2 = 2e^{i300°} \approx 1 - 1.732i\)

Beispiel 3: \(\sqrt[2]{i}\)

r = 1, φ = 90°

\(w_0 = e^{i45°}\)
\(\approx 0.707 + 0.707i\)
\(w_1 \approx -0.707 - 0.707i\)

Beispiel 4: \(\sqrt[3]{1+i}\)

r = √2, φ = 45°

\(w_0 = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i15°}\)
\(\approx 1.084 + 0.290i\)
(2 weitere Lösungen)

Beispiel 5: \(\sqrt[5]{32}\)

r = 32, φ = 0°

5 Lösungen mit
Winkelabstand 72°
Hauptwert: \(w_0 = 2\)

n-te Wurzel komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung

Definition und Mehrdeutigkeit

Die n-te Wurzel \(\sqrt[n]{z}\) ist definiert als die Lösung der Gleichung \(w^n = z\).

Mehrdeutigkeit:
Jede komplexe Zahl \(z \neq 0\) hat n verschiedene n-te Wurzeln:
\[w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\]
mit \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)

Hauptwert:
Der Hauptwert ist \(w_0\) (für \(k=0\))

Geometrische Verteilung

Die n Lösungen sind besonders schön verteilt:

Gleichmäßige Verteilung:

  • Alle liegen auf einem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]{r}\)
  • Winkelabstand: \(\frac{360°}{n} = \frac{2\pi}{n}\)
  • Bilden ein regelmäßiges n-Eck
  • Symmetrisch um den Ursprung

Berechnung

In Polarform ist die Berechnung besonders einfach:

Für \(z = re^{i\phi}\):
\[w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\]
Schritte:
1. Betrag: \(\sqrt[n]{r}\) (n-te Wurzel ziehen)
2. Winkel: \(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\) (durch n teilen, +2πk/n)
3. Für alle k = 0, 1, ..., n-1 berechnen

Wichtige Eigenschaften

  • \((\sqrt[n]{z})^n = z\) (für alle n Lösungen)
  • \(|\sqrt[n]{z}| = \sqrt[n]{|z|}\) (Betrag)
  • \(\arg(w_k) = \frac{\arg(z) + 2\pi k}{n}\) (Argument)
  • \(\sqrt[n]{z_1 \cdot z_2} \neq \sqrt[n]{z_1} \cdot \sqrt[n]{z_2}\) (Vorsicht!)
  • Einheitswurzeln: \(\sqrt[n]{1}\) bilden zyklische Gruppe

Einheitswurzeln

Die n-ten Einheitswurzeln \(\sqrt[n]{1}\):

\[\omega_k = e^{i \cdot 2\pi k/n}\]

Mit \(k = 0, 1, ..., n-1\)
Wichtig in Algebra und Fourier-Transformation

Praktische Anwendungen

Mathematik:
• Algebra: Polynomgleichungen lösen
• Zahlentheorie: Einheitswurzeln
• Galois-Theorie: Körpererweiterungen
• FFT: Schnelle Fourier-Transformation
Anwendungen:
• Signalverarbeitung: Filter-Design
• Kryptographie: Primitivwurzeln
• Quantenmechanik: Phasen
• Fraktale: Julia-Mengen
Tipp: Visualisierung

Zeichnen Sie die n Lösungen in der komplexen Ebene:
Sie bilden ein regelmäßiges n-Eck auf einem Kreis!
Dies hilft, die Struktur der Lösungen zu verstehen.

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