Exponentialfunktion für komplexe Zahlen

Berechnung von \(e^z\) mit der Euler-Formel

Exp-Funktionsrechner

Exponentialfunktion \(e^z\)

Die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen wird durch die Euler-Formel berechnet: \(e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\). Sie ist die Umkehrfunktion des komplexen Logarithmus.

Komplexe Zahl z = x + iy (Exponent)
+
i
Berechnungsergebnis
\(e^z\) =

Exp-Eigenschaften

Euler-Formel
\[e^{iy} = \cos(y) + i\sin(y)\]

Eine der schönsten Formeln der Mathematik!

Vollständige Formel
\[e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\]
Betrag \(|e^z| = e^x\)
Argument \(\arg(e^z) = y\)
Wichtige Eigenschaften
  • \(e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}\) (Funktionalgleichung)
  • \(e^z \neq 0\) für alle \(z \in \mathbb{C}\)
  • \(e^{z + 2\pi i} = e^z\) (Periodizität)
  • Umkehrfunktion: \(\ln(e^z) = z + 2\pi i k\)
Spezialfälle
  • \(e^0 = 1\)
  • \(e^{i\pi} = -1\) (Euler-Identität)
  • \(e^{i\pi/2} = i\)
  • \(e^{2\pi i} = 1\)

Formel zur Exponentialfunktion komplexer Zahlen

Die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen erweitert die bekannte reelle Exponentialfunktion durch die Euler-Formel.

Definition

Für \(z = x + iy\):
\[e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy}\] \[= e^x(\cos y + i\sin y)\]

Komponenten

Realteil: \(\text{Re}(e^z) = e^x \cos y\)
Imaginärteil: \(\text{Im}(e^z) = e^x \sin y\)

Berechnungsbeispiel

Berechnung: \(e^{3+5i}\)
Schritt 1: Komponenten

Gegeben: \(z = 3 + 5i\)

Realteil: \(x = 3\)

Imaginärteil: \(y = 5\)

Schritt 2: Euler-Formel

\(e^{3+5i} = e^3 \cdot e^{5i}\)

\(= e^3(\cos 5 + i\sin 5)\)

Schritt 3: Exponential

\(e^3 \approx 20.086\)

Faktor für Real- und Imaginärteil

Schritt 4: Trigonometrische Werte

\(\cos(5) \approx 0.284\)

\(\sin(5) \approx -0.959\)

(Winkel im Bogenmaß!)

Schritt 5: Endergebnis

Realteil: \(20.086 \cdot 0.284 \approx 5.70\)

Imaginärteil: \(20.086 \cdot (-0.959) \approx -19.26\)

\(e^{3+5i} \approx 5.70 - 19.26i\)

Geometrische Interpretation

Betrag: \(|e^{3+5i}| = e^3 \approx 20.086\)
Der Betrag hängt nur vom Realteil ab!

Argument: \(\arg(e^{3+5i}) = 5\) rad
Das Argument ist der Imaginärteil!

Wichtige Eigenschaften und Theoreme

Funktionalgleichung
\[e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}\]

Die Exponentialfunktion wandelt Addition in Multiplikation um.

Periodizität
\[e^{z + 2\pi i k} = e^z\]

Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit Periode \(2\pi i\).

Nullstellenfreiheit
\[e^z \neq 0 \quad \forall z \in \mathbb{C}\]

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen in der komplexen Ebene.

Euler-Identität
\[e^{i\pi} + 1 = 0\]

Die berühmteste Formel der Mathematik verbindet die fünf wichtigsten Konstanten: \(e\), \(i\), \(\pi\), 1 und 0.

Polarform-Beziehung
\[z = r e^{i\phi} = r(\cos\phi + i\sin\phi)\]

Jede komplexe Zahl kann in Polarform mit der Exponentialfunktion dargestellt werden: \(r = |z|\), \(\phi = \arg(z)\).

Ableitung
\[\frac{d}{dz}e^z = e^z\]

Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung - auch im Komplexen!

Exponentialfunktion - Detaillierte Beschreibung

Leonhard Euler

Die Euler-Formel wurde von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) entdeckt und gilt als eine der schönsten Formeln der Mathematik.

Herleitung über Reihenentwicklung:
\[e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}\] \[= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots\] \[= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots\right)\] \[= \cos(x) + i\sin(x)\]

Praktische Anwendungen

  • Elektrotechnik: Wechselstromrechnung, Impedanz
  • Signalverarbeitung: Fourier-Transformation
  • Quantenmechanik: Wellenfunktionen
  • Schwingungslehre: Komplexe Amplitude

Geometrische Bedeutung

Die Multiplikation mit \(e^{i\phi}\) entspricht einer Drehung um den Winkel \(\phi\) in der komplexen Ebene.

Drehung einer komplexen Zahl:
\[z' = z \cdot e^{i\phi}\] Dies dreht die Zahl \(z\) um den Winkel \(\phi\) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Beziehung zum Logarithmus

Die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion des komplexen Logarithmus:

\[w = e^z \quad \Leftrightarrow \quad z = \ln(w)\]

Achtung: Der komplexe Logarithmus ist mehrdeutig!
\(\ln(e^z) = z + 2\pi i k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

Wichtige Hinweise

Vorsicht bei Winkeln!
  • Winkel \(y\) in der Euler-Formel immer im Bogenmaß (Radiant)
  • Umrechnung: \(1° = \frac{\pi}{180}\) rad
  • Periodizität beachten: \(e^{iy}\) hat Periode \(2\pi\)

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
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