Hyperbolischer Sinus (sinh) für komplexe Zahlen

Berechnung von sinh(z) - hyperbolische Funktion im Komplexen

Sinh-Rechner

Hyperbolischer Sinus

Der hyperbolische Sinus sinh(z) einer komplexen Zahl z = x + yi kombiniert hyperbolische und trigonometrische Funktionen. Er wächst exponentiell und ist eng mit der Exponentialfunktion verwandt: \(\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\)

Argument z = x + yi
+
i
Berechnungsergebnis
sinh(z) =
sinh(z) wächst exponentiell für große |Re(z)| und kann sehr große Werte annehmen!

Sinh - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\sinh(z) = \sinh(x)\cos(y) + i\cosh(x)\sin(y)\]

Mit z = x + yi

Exponentialdarstellung
\[\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\]

Halbdifferenz der Exponentialfunktionen

Ungerade Funktion sinh(-z) = -sinh(z)
Nullstelle sinh(0) = 0
Wichtige Eigenschaften
  • Ungerade Funktion: sinh(-z) = -sinh(z)
  • \(\cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1\)
  • Nullstelle: sinh(0) = 0
  • Wächst exponentiell für |z| → ∞
Beziehungen
  • \(\sinh(iz) = i\sin(z)\)
  • \(\sinh(2z) = 2\sinh(z)\cosh(z)\)
  • \(\sinh(z \pm w) = \sinh z \cosh w \pm \cosh z \sinh w\)
  • \(\frac{d}{dz}\sinh(z) = \cosh(z)\)

Formeln zum hyperbolischen Sinus komplexer Zahlen

Der hyperbolische Sinus sinh(z) einer komplexen Zahl z = x + yi kombiniert hyperbolische Funktionen (sinh, cosh) mit trigonometrischen Funktionen (cos, sin).

Kartesische Form
\[\sinh(x + yi) = \sinh(x)\cos(y) + i\cosh(x)\sin(y)\]

Realteil: \(\sinh(x)\cos(y)\)
Imaginärteil: \(\cosh(x)\sin(y)\)

Exponentialform
\[\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\]

Halbdifferenz der Exponentialfunktionen

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: sinh(3 + 5i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 3 + 5i

x = 3 (Realteil)

y = 5 (Imaginärteil)

Schritt 2: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \sinh(3) \cdot \cos(5)\)

\(= (10.0179) \cdot (0.28366)\)

\(\approx 2.842\)

Schritt 3: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = \cosh(3) \cdot \sin(5)\)

\(= (10.0677) \cdot (-0.95892)\)

\(\approx -9.654\)

Schritt 4: Ergebnis

\(\sinh(3 + 5i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx 2.842 - 9.654i\)

Beobachtung

Der Betrag \(|\sinh(3 + 5i)| \approx 10.06\) zeigt das exponentielle Wachstum. Der hyperbolische Sinus wächst exponentiell mit dem Realteil x.

Weitere Beispiele

Beispiel 1: sinh(0)

z = 0

\(\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2}\)

\(= \frac{1 - 1}{2} = 0\)

Beispiel 2: sinh(1)

z = 1 (reell)

\(\sinh(1) = \frac{e - e^{-1}}{2}\)

\(\approx 1.175\)

Beispiel 3: sinh(i)

z = i (rein imaginär)

\(\sinh(i) = i\sin(1)\)

\(\approx 0.841i\)

Beispiel 4: sinh(πi/2)

z = πi/2

\(\sinh(\pi i/2) = i\sin(\pi/2)\)

\(= i\)

Beispiel 5: sinh(2 + i)

z = 2 + i

\(\text{Re} = \sinh(2)\cos(1) \approx 1.978\)
\(\text{Im} = \cosh(2)\sin(1) \approx 3.166\)

\(\approx 1.978 + 3.166i\)

Beispiel 6: sinh(-2)

z = -2 (reell, negativ)

\(\sinh(-2) = -\sinh(2)\) (ungerade!)

\(\approx -3.627\)

Hyperbolischer Sinus - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der hyperbolische Sinus ist eine der hyperbolischen Funktionen, analog zum trigonometrischen Sinus.

Exponentialdarstellung:
\[\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\]

Für reelle Zahlen:
\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]
Wertebereich: (-∞, ∞)
Nullstelle bei x = 0: sinh(0) = 0

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\sinh(z) = \sinh(x)\cos(y) + i\cosh(x)\sin(y)\]

• Realteil: \(\sinh(x)\cos(y)\)
• Imaginärteil: \(\cosh(x)\sin(y)\)
• Wächst exponentiell mit |Re(z)|

Wichtige Eigenschaften

  • Ungerade Funktion: \(\sinh(-z) = -\sinh(z)\)
  • Hyperbolische Identität: \(\cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1\)
  • Nullstelle: sinh(0) = 0
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\sinh(z) = \cosh(z)\

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\sinh(z \pm w) = \sinh z \cosh w \pm \cosh z \sinh w\]
Doppelargument:
\[\sinh(2z) = 2\sinh(z)\cosh(z)\]

Beziehung zu trigonometrischen Funktionen

• \(\sinh(iz) = i\sin(z)\) (wichtige Verbindung!)
• \(\sin(iz) = i\sinh(z)\) (Umkehrung)
• \(e^z = \cosh(z) + \sinh(z)\)
• \(e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z)\)

Verhalten und Wachstum

Exponentielles Wachstum

Für große |x|:

\[\sinh(x) \approx \frac{e^{x}}{2} \text{ sgn}(x)\]

Der hyperbolische Sinus wächst exponentiell!
z.B.: sinh(5) ≈ 74.2, sinh(10) ≈ 11013.2

Nullstelle

Für reelle Zahlen:

\[\sinh(0) = 0\]

Die einzige reelle Nullstelle!
sinh ist streng monoton steigend

Anwendungen

Mathematik
  • Hyperbolische Geometrie
  • Differentialgleichungen
  • Integralrechnung
  • Komplexe Analysis
Physik
  • Relativitätstheorie
  • Wärmeleitungsgleichung
  • Wellengleichungen
  • Elektromagnetismus
Ingenieurwesen
  • Strukturmechanik
  • Signalverarbeitung
  • Regelungstechnik
  • Schwingungsanalyse
Vergleich: sinh vs. sin
sinh(x) - Hyperbolischer Sinus:
  • Ungerade Funktion: sinh(-x) = -sinh(x)
  • Nicht periodisch
  • Exponentielles Wachstum
  • Wertebereich: (-∞, ∞)
sin(x) - Trigonometrischer Sinus:
  • Ungerade Funktion: sin(-x) = -sin(x)
  • Periodisch: Periode 2π
  • Oszillierend
  • Wertebereich: [-1, 1]

Verbindung: \(\sinh(iz) = i\sin(z)\) und \(\sin(iz) = i\sinh(z)\)


Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
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