Abgeleitete Airy-Funktionen für komplexe Zahlen

Berechnung von Ai'(z) und Bi'(z) - Ableitungen der Airy-Funktionen

Abgeleitete Airy-Funktionen Rechner

Abgeleitete Airy-Funktionen

Die abgeleiteten Airy-Funktionen Ai'(z) und Bi'(z) sind die ersten Ableitungen der Airy-Funktionen Ai(z) und Bi(z). Sie sind ebenfalls Lösungen einer verwandten Differentialgleichung und spielen eine wichtige Rolle in Quantenmechanik und Optik.

Argument z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnisse
Ai'(z) =
Bi'(z) =

Abgeleitete Airy - Eigenschaften

Beziehung zur Airy-Gleichung
\[\frac{d}{dz}Ai(z) = Ai'(z)\] \[\frac{d}{dz}Bi(z) = Bi'(z)\]

Erste Ableitungen der Airy-Funktionen

Differentialgleichung
\[(y')'' - zy' - y = 0\]

Erfüllt von Ai'(z) und Bi'(z)

Ai'(z) Ableitung 1. Art
Bi'(z) Ableitung 2. Art
Wichtige Eigenschaften
  • Ai'(0) ≈ -0.25881940...
  • Bi'(0) ≈ 0.44828835...
  • Ai'(z) → 0 für z → +∞
  • Bi'(z) → ∞ für z → +∞
Verwandte Funktionen

Airy-Funktionen:
Ai(z) und Bi(z) →

Reelle Zahlen:
Ai'(x) und Bi'(x) für reelle Zahlen →

Anwendungen
  • Quantenmechanik: WKB-Anschlussbedingungen
  • Optik: Intensitätsgradient
  • Elektromagnetik: Feldgradienten
  • Mathematik: Asymptotische Analyse

Formeln zu den abgeleiteten Airy-Funktionen

Die abgeleiteten Airy-Funktionen können durch modifizierte Bessel-Funktionen ausgedrückt werden.

Ai'(z) - Erste Ableitung
\[Ai'(z) = \frac{z}{\pi\sqrt{3}}K_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right)\]

Mit modifizierter Bessel-Funktion \(K_{2/3}\)

Bi'(z) - Zweite Ableitung
\[Bi'(z) = \frac{z}{\sqrt{3}}\left(I_{-\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right) + I_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\right)\right)\]

Mit modifizierten Bessel-Funktionen \(I_{\pm 2/3}\)

Abgeleitete Airy-Funktionen - Detaillierte Beschreibung

Definition

Die abgeleiteten Airy-Funktionen sind die ersten Ableitungen der Airy-Funktionen Ai(z) und Bi(z).

Definitionen:
\[Ai'(z) = \frac{d}{dz}Ai(z)\]
\[Bi'(z) = \frac{d}{dz}Bi(z)\]

Sie erfüllen die Differentialgleichung:
\[y'' - zy = 0\]
wobei y = Ai'(z) oder y = Bi'(z)

Ai'(z) - Erste Ableitung

Die Ableitung der Airy-Funktion erster Art:

Verhalten:

  • Ai'(z) → 0 für z → +∞ (exponentielles Abklingen)
  • Ai'(z) oszilliert für z < 0
  • Ai'(0) ≈ -0.25881940...
  • Ai' hat negative Steigung bei z=0

Bi'(z) - Zweite Ableitung

Die Ableitung der Airy-Funktion zweiter Art:

Verhalten:

  • Bi'(z) → ∞ für z → +∞ (exponentielles Wachstum)
  • Bi'(z) oszilliert für z < 0
  • Bi'(0) ≈ 0.44828835...
  • Bi' hat positive Steigung bei z=0

Wronskische Determinante

Wronskische für Ableitungen:
\[W = Ai'(z)Bi''(z) - Ai''(z)Bi'(z)\]
ist ebenfalls konstant

Beziehungen

Rekursionsrelationen:
\(Ai''(z) = z \cdot Ai(z)\)
\(Bi''(z) = z \cdot Bi(z)\)

Linear unabhängig:
Ai'(z) und Bi'(z) sind linear unabhängig

Physikalische Anwendungen

Quantenmechanik:
• WKB-Methode: Anschlussbedingungen an Wendepunkten
• Tunneleffekt: Wellenfunktions-Ableitungen
• Potentialprobleme: Randbedingungen
• Streutheorie: Phasenverschiebungen
Optik und Elektromagnetik:
• Intensitätsgradient: Ableitung der Lichtintensität
• Feldgradienten: Elektromagnetische Felder
• Wellenausbreitung: Phasengeschwindigkeit
• Kaustiken: Gradient an Brennlinien

Mathematische Eigenschaften

Nullstellen

• Ai'(z) hat unendlich viele Nullstellen für z < 0
• Bi'(z) hat unendlich viele Nullstellen für z < 0
• Wichtig für Eigenwertprobleme

Asymptotik

• Für z → +∞: exponentielles Verhalten
• Für z → -∞: oszillatorisches Verhalten
• Ähnlich wie Ai(z) und Bi(z)

Integrale

• \(\int Ai'(z)dz = Ai(z) + C\)
• \(\int Bi'(z)dz = Bi(z) + C\)
• Stammfunktionen sind die Airy-Funktionen

Wichtige Beziehungen

Zur Airy-Gleichung:

Wenn y(z) die Airy-Gleichung \(y'' - zy = 0\) erfüllt,
dann erfüllt y'(z) die Gleichung:
\((y')'' - zy' - y = 0\)

Integraldarstellung:

\[Ai'(z) = -\frac{1}{\pi}\int_0^\infty t\sin\left(\frac{t^3}{3} + zt\right)dt\] Ableitung der Integraldarstellung von Ai(z)

Asymptotisches Verhalten

Ai'(z) für z → +∞
\[Ai'(z) \sim -\frac{z^{1/4}}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{2}{3}z^{3/2}}\]

Exponentielles Abklingen, negatives Vorzeichen

Ai'(z) für z → -∞
\[Ai'(z) \sim -\frac{|z|^{1/4}}{\sqrt{\pi}}\cos\left(\frac{2}{3}|z|^{3/2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

Oszillatorisches Verhalten

Bi'(z) für z → +∞
\[Bi'(z) \sim \frac{z^{1/4}}{\sqrt{\pi}}e^{\frac{2}{3}z^{3/2}}\]

Exponentielles Wachstum, positives Vorzeichen

Bi'(z) für z → -∞
\[Bi'(z) \sim \frac{|z|^{1/4}}{\sqrt{\pi}}\sin\left(\frac{2}{3}|z|^{3/2} + \frac{\pi}{4}\right)\]

Oszillatorisches Verhalten mit Sinus

Vergleich mit Airy-Funktionen

Die abgeleiteten Funktionen haben ähnliches asymptotisches Verhalten wie die Airy-Funktionen selbst, aber mit einem zusätzlichen Faktor \(z^{1/4}\) bzw. \(|z|^{1/4}\) und leicht verschobenen Phasen.


Weitere Komplexe Funktionen

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Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
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