Quadratwurzel komplexer Zahlen

Berechnung von \(\sqrt{z}\) - zwei Lösungen für jede komplexe Zahl

Quadratwurzel-Rechner

Quadratwurzel komplexer Zahlen

Die Quadratwurzel \(\sqrt{z}\) einer komplexen Zahl hat zwei Lösungen: \(w\) und \(-w\), wobei \(w^2 = z\). Dieser Rechner liefert den Hauptwert (positive Lösung).

Komplexe Zahl z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
\(\sqrt{z}\) (Hauptwert) =
Die zweite Lösung ist das Negative des Hauptwerts: \(-\sqrt{z}\)

Quadratwurzel - Eigenschaften

Formel (Hauptwert)
\[\sqrt{z} = \pm\left(\sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}i\right)\]

Mit \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\) und \(\text{sgn}(b)\) = Vorzeichen von b

Komponenten
\[\text{Re}(\sqrt{z}) = \sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\] \[\text{Im}(\sqrt{z}) = \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\]
Betrag \(\sqrt{|z|}\)
Lösungen 2 Werte
Zwei Lösungen!

Wenn \(w = \sqrt{z}\), dann ist auch \(-w\) eine Lösung, da
\(w^2 = z\) und \((-w)^2 = z\)
Dieser Rechner liefert den positiven Hauptwert.

Wichtige Eigenschaften
  • \((\sqrt{z})^2 = z\) (Definition)
  • \(|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}\) (Betrag)
  • \(\arg(\sqrt{z}) = \frac{\arg(z)}{2}\) (Argument halbiert)
  • \(\sqrt{z_1 \cdot z_2} \neq \sqrt{z_1} \cdot \sqrt{z_2}\) (Vorsicht!)
Mit Polarform

Für \(z = re^{i\phi}\):
\[\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i\phi/2}\] Regel: Betrag wurzelziehen, Winkel halbieren

Formeln zur Quadratwurzel komplexer Zahlen

Die Quadratwurzel einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) hat zwei Lösungen. Der Hauptwert wird durch eine spezielle Formel berechnet.

Hauptwert-Formel
\[\sqrt{a+bi} = \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}i\]

Mit \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)

Mit Polarform
\[\sqrt{re^{i\phi}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\phi/2}\]

Beide Lösungen: \(\pm\sqrt{r} \cdot e^{i\phi/2}\)

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: \(\sqrt{3+5i}\)
Schritt 1: Betrag berechnen

\(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)

\(= \sqrt{3^2+5^2}\)

\(= \sqrt{9+25}\)

\(= \sqrt{34} \approx 5.83\)

Schritt 2: Realteil der Wurzel

\(\text{Re}(\sqrt{z}) = \sqrt{\frac{|z|+a}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{5.83+3}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{8.83}{2}}\)

\(= \sqrt{4.415} \approx 2.10\)

Schritt 3: Imaginärteil der Wurzel

\(\text{Im}(\sqrt{z}) = \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\)

\(= (+1)\sqrt{\frac{5.83-3}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{2.83}{2}}\)

\(= \sqrt{1.415} \approx 1.19\)

Schritt 4: Beide Lösungen

Lösung 1 (Hauptwert):

\(\sqrt{3+5i} \approx 2.10 + 1.19i\)

Lösung 2:

\(-\sqrt{3+5i} \approx -2.10 - 1.19i\)

Verifikation

Probe für Lösung 1:

\((2.10 + 1.19i)^2\)

\(= 4.41 + 4.998i + 1.416i^2\)

\(= 4.41 + 4.998i - 1.416\)

\(\approx 3.0 + 5.0i\) ✓

Probe für Lösung 2:

\((-2.10 - 1.19i)^2\)

\(= 4.41 + 4.998i + 1.416i^2\)

\(= 4.41 + 4.998i - 1.416\)

\(\approx 3.0 + 5.0i\) ✓

Weitere Beispiele

Beispiel 1: \(\sqrt{i}\)

Polarform: \(i = e^{i\pi/2}\)

\(\sqrt{i} = e^{i\pi/4}\)

\(= \cos(45°) + i\sin(45°)\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)

Beide: \(\pm(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i)\)

Beispiel 2: \(\sqrt{-1}\)

\(\sqrt{-1+0i}\)

Polarform: \(-1 = e^{i\pi}\)

\(\sqrt{-1} = e^{i\pi/2}\)

\(= i\) (und \(-i\))

Die beiden Lösungen sind \(\pm i\)

Beispiel 3: \(\sqrt{4}\) (reell)

\(\sqrt{4+0i}\)

\(|z| = 4\), \(a = 4\), \(b = 0\)

\(\text{Re} = \sqrt{\frac{4+4}{2}} = 2\)

\(\text{Im} = 0\)

\(= 2\) (und \(-2\))

Beispiel 4: \(\sqrt{1+i}\)

\(|z| = \sqrt{2}\)

\(\text{Re} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \approx 1.099\)

\(\text{Im} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \approx 0.455\)

\(\sqrt{1+i} \approx 1.099 + 0.455i\)

Beispiel 5: \(\sqrt{-4-3i}\)

\(|z| = \sqrt{16+9} = 5\)

\(\text{Re} = \sqrt{\frac{5-4}{2}} \approx 0.707\)

\(\text{Im} = -\sqrt{\frac{5+4}{2}} \approx -2.121\)

\(\sqrt{-4-3i} \approx 0.707 - 2.121i\)

Quadratwurzel komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung

Definition und Mehrdeutigkeit

Die Quadratwurzel \(\sqrt{z}\) ist die Lösung der Gleichung \(w^2 = z\).

Mehrdeutigkeit:
Jede komplexe Zahl \(z \neq 0\) hat zwei Quadratwurzeln:
Wenn \(w\) eine Lösung ist, dann ist \(-w\) die andere.

Hauptwert:
Der Hauptwert ist die Lösung mit positivem Realteil
(oder positivem Imaginärteil, wenn Realteil = 0)

Mit Polarform (einfacher!)

In Polarform ist die Berechnung besonders einfach:

Für \(z = re^{i\phi}\):

\[\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i\phi/2}\]

Regel:
• Betrag: Wurzel ziehen \(\sqrt{r}\)
• Winkel: Halbieren \(\phi/2\)
• Beide Lösungen: \(\pm\sqrt{r} \cdot e^{i\phi/2}\)

Berechnung in Normalform

Die Formel für die Normalform ist komplizierter:

Hauptwert-Formel:
\[\sqrt{a+bi} = \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}i\]
Vorzeichenfunktion:
\(\text{sgn}(b) = \begin{cases} +1 & \text{wenn } b \geq 0\\ -1 & \text{wenn } b < 0 \end{cases}\)

Wichtige Eigenschaften

  • \((\sqrt{z})^2 = z\) (Definition, beide Lösungen)
  • \(|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}\) (Betrag)
  • \(\arg(\sqrt{z}) = \frac{\arg(z)}{2}\) (Argument halbiert)
  • \(\sqrt{\overline{z}} = \overline{\sqrt{z}}\) (Konjugation)
  • \(\sqrt{0} = 0\) (eindeutig!)

Vorsicht!

Gilt NICHT:
❌ \(\sqrt{z_1 \cdot z_2} = \sqrt{z_1} \cdot \sqrt{z_2}\)
❌ \(\sqrt{\frac{z_1}{z_2}} = \frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}\)

Diese Regeln gelten nur für positive reelle Zahlen!

Praktische Anwendungen

Mathematik:
• Lösung quadratischer Gleichungen
• Komplexe Funktionen
• Riemann-Flächen
• Konforme Abbildungen
Anwendungen:
• Elektrotechnik: Impedanzberechnungen
• Quantenmechanik: Wellenfunktionen
• Signalverarbeitung: Filter-Design
• Numerische Mathematik

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye