Hyperbolischer Tangens (tanh) für komplexe Zahlen

Berechnung von tanh(z) - Verhältnis von sinh zu cosh

Tanh-Rechner

Hyperbolischer Tangens

Der hyperbolische Tangens tanh(z) ist das Verhältnis von sinh zu cosh: \(\tanh(z) = \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}\). Er ist beschränkt auf das Intervall (-1, 1) für reelle Zahlen und hat keine Polstellen.

Argument z = x + yi
+
i
Berechnungsergebnis
tanh(z) =
Für reelle x: -1 < tanh(x) < 1. Keine Polstellen!

Tanh - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\tanh(z) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)} + i\frac{\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}\]

Mit z = x + yi

Quotientendarstellung
\[\tanh(z) = \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}\]
Ungerade Funktion tanh(-z) = -tanh(z)
Beschränkt (reell) -1 < tanh(x) < 1
Wichtige Eigenschaften
  • Ungerade Funktion: tanh(-z) = -tanh(z)
  • \(1 - \tanh^2(z) = \frac{1}{\cosh^2(z)}\)
  • Keine Polstellen (glatt)
  • Grenzwerte: \(\lim_{x \to \pm\infty} \tanh(x) = \pm 1\)
Beziehungen
  • \(\tanh(z) = \frac{1}{\coth(z)}\)
  • \(\tanh(2z) = \frac{2\tanh(z)}{1+\tanh^2(z)}\)
  • \(\tanh(z \pm w) = \frac{\tanh z \pm \tanh w}{1 \pm \tanh z \tanh w}\)
  • \(\tanh(iz) = i\tan(z)\)

Formeln zum hyperbolischen Tangens komplexer Zahlen

Der hyperbolische Tangens tanh(z) einer komplexen Zahl z = x + yi ist das Verhältnis von sinh zu cosh und kombiniert hyperbolische mit trigonometrischen Funktionen.

Kartesische Form
\[\tanh(z) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)} + i\frac{\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}\]

Realteil: \(\frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}\)
Imaginärteil: \(\frac{\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}\)

Quotientendarstellung
\[\tanh(z) = \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}\]

Verhältnis von sinh zu cosh

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: tanh(1 + i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 1 + i

x = 1, y = 1

2x = 2, 2y = 2

Schritt 2: Nenner berechnen

\(\cosh(2) + \cos(2)\)

\(= 3.762 + (-0.416)\)

\(\approx 3.346\)

Schritt 3: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \frac{\sinh(2)}{3.346}\)

\(= \frac{3.627}{3.346}\)

\(\approx 1.084\)

Schritt 4: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = \frac{\sin(2)}{3.346}\)

\(= \frac{0.909}{3.346}\)

\(\approx 0.272\)

Schritt 5: Ergebnis

\(\tanh(1 + i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx 1.084 + 0.272i\)

Beobachtung

Beachten Sie: \(|\tanh(1 + i)| \approx 1.118 > 1\)! Für komplexe Zahlen kann der Betrag von tanh größer als 1 sein (nur für reelle x gilt |tanh(x)| < 1).

Weitere Beispiele

Beispiel 1: tanh(0)

z = 0

\(\tanh(0) = \frac{\sinh(0)}{\cosh(0)}\)

\(= \frac{0}{1} = 0\)

Beispiel 2: tanh(1)

z = 1 (reell)

\(\tanh(1) = \frac{e - e^{-1}}{e + e^{-1}}\)

\(\approx 0.762\)

Beispiel 3: tanh(∞)

Grenzwert für x → ∞

\(\lim_{x \to \infty} \tanh(x)\)

\(= 1\)

Beispiel 4: tanh(i)

z = i (rein imaginär)

\(\tanh(i) = i\tan(1)\)

\(\approx 1.557i\)

Beispiel 5: tanh(2)

z = 2 (reell)

\(\tanh(2) = \frac{\sinh(2)}{\cosh(2)}\)

\(\approx 0.964\)

Beispiel 6: tanh(-1)

z = -1 (reell, negativ)

\(\tanh(-1) = -\tanh(1)\) (ungerade!)

\(\approx -0.762\)

Hyperbolischer Tangens - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der hyperbolische Tangens ist das Verhältnis von sinh zu cosh.

Quotientendarstellung:
\[\tanh(z) = \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}\]

Exponentialform:
\[\tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}\]

Für reelle Zahlen:
Wertebereich: (-1, 1)
Keine Polstellen

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\tanh(z) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)} + i\frac{\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}\]

• Für komplexe z kann |\tanh(z)| > 1 sein
• Keine Polstellen (glatte Funktion)

Wichtige Eigenschaften

  • Ungerade Funktion: \(\tanh(-z) = -\tanh(z)\)
  • Identität: \(1 - \tanh^2(z) = \frac{1}{\cosh^2(z)}\)
  • Grenzwerte: \(\lim_{x \to \pm\infty} \tanh(x) = \pm 1\)
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\tanh(z) = \frac{1}{\cosh^2(z)}\)

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\tanh(z \pm w) = \frac{\tanh z \pm \tanh w}{1 \pm \tanh z \tanh w}\]
Doppelargument:
\[\tanh(2z) = \frac{2\tanh(z)}{1+\tanh^2(z)}\]

Beziehungen

• \(\tanh(z) = \frac{1}{\coth(z)}\) (Kehrwert)
• \(\tanh(iz) = i\tan(z)\) (hyperbolisch ↔ trigonometrisch)
• \(\tan(iz) = i\tanh(z)\) (Umkehrung)
• \(\tanh(z) = \frac{e^{2z} - 1}{e^{2z} + 1}\)

Sigmoidfunktion

Aktivierungsfunktion

Der hyperbolische Tangens ist eine Sigmoidfunktion (S-förmig):

Eigenschaften:
  • Glatt und differenzierbar
  • Monoton steigend
  • Nullpunkt bei (0,0)
  • Asymptoten bei y = ±1
Wendepunkte:
  • Maximale Steigung bei x = 0
  • \(\tanh'(0) = 1\)
  • Symmetrisch um Ursprung

Anwendungen

Neuronale Netze
  • Aktivierungsfunktion
  • Machine Learning
  • Deep Learning
  • KI-Algorithmen
Physik
  • Relativitätstheorie
  • Solitonen
  • Wellengleichungen
  • Nichtlineare Dynamik
Signalverarbeitung
  • Normalisierung
  • Begrenzung
  • Soft-Clipping
  • Kompression
Vergleich: tanh vs. tan
tanh(x) - Hyperbolischer Tangens:
  • Ungerade Funktion
  • Wertebereich (reell): (-1, 1)
  • Keine Polstellen
  • Grenzwerte: ±1 für x → ±∞
tan(x) - Trigonometrischer Tangens:
  • Ungerade Funktion
  • Wertebereich (reell): (-∞, ∞)
  • Polstellen bei (2k+1)π/2
  • Periodisch mit Periode π

Verbindung: \(\tanh(iz) = i\tan(z)\) und \(\tan(iz) = i\tanh(z)\)


Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye