Potenz komplexer Zahlen
Berechnung von \(z^w\) mit komplexer Basis und komplexem Exponenten
Potenz-Rechner
Potenz komplexer Zahlen
Die Potenz \(z^w\) wird berechnet durch \(z^w = e^{w \ln z}\). Sowohl Basis als auch Exponent können komplex sein.
Potenz - Eigenschaften
Allgemeine Formel
Umwandlung in Exponentialfunktion und Logarithmus
Für reelle Exponenten
Mit Polarform \(z = re^{i\phi}\)
Wichtige Eigenschaften
- \(z^0 = 1\) (für \(z \neq 0\))
- \(z^1 = z\)
- \(z^{-1} = \frac{1}{z}\)
- \((z^{w_1})^{w_2} \neq z^{w_1 w_2}\) (im Allgemeinen!)
Mehrdeutigkeit
Für komplexe Exponenten ist \(z^w\) mehrdeutig wegen der Mehrdeutigkeit des Logarithmus! Dieser Rechner liefert den Hauptwert.
Spezialfälle
- Ganzzahlige Exponenten: \(z^n\) (eindeutig)
- Rationale Exponenten: \(z^{p/q}\) (q Werte)
- Reelle Exponenten: \(z^r\) (unendlich viele Werte)
- Komplexe Exponenten: \(z^w\) (unendlich viele Werte)
Formeln zur Potenz komplexer Zahlen
Die Potenz einer komplexen Zahl mit komplexem Exponenten wird durch die Exponentialfunktion und den Logarithmus definiert.
Allgemeine Definition
Mit dem Hauptwert des komplexen Logarithmus
Mit Polarform
Für \(z = re^{i\phi}\) und \(w = c + di\)
Berechnungsbeispiele
Beispiel 1: \((1+i)^2\) (reeller Exponent)
Methode 1: Ausmultiplizieren
\((1+i)^2 = (1+i)(1+i)\)
\(= 1 + i + i + i^2\)
\(= 1 + 2i - 1 = 2i\)
Methode 2: Polarform
\(1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}\)
\((1+i)^2 = (\sqrt{2})^2 e^{i\cdot 2\pi/4}\)
\(= 2e^{i\pi/2} = 2i\) ✓
Beispiel 2: \(i^i\) (komplexer Exponent)
Berechnung:
\(i = e^{i\pi/2}\)
\(\ln(i) = i\pi/2\)
\(i^i = e^{i \ln(i)} = e^{i \cdot i\pi/2}\)
\(= e^{-\pi/2}\)
\(\approx 0.208\) (reell!)
Beispiel 3: \(2^{1+i}\)
Berechnung:
\(\ln(2) \approx 0.693\)
\(2^{1+i} = e^{(1+i)\ln 2}\)
\(= e^{\ln 2 + i\ln 2}\)
\(= e^{\ln 2} \cdot e^{i\ln 2}\)
\(= 2 \cdot (\cos(0.693) + i\sin(0.693))\)
\(\approx 1.54 + 1.28i\)
Beispiel 4: \((1+i)^{1+i}\)
Berechnung:
\(1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}\)
\(\ln(1+i) = \ln\sqrt{2} + i\pi/4\)
\(\approx 0.347 + 0.785i\)
\((1+i)^{1+i} = e^{(1+i)(0.347+0.785i)}\)
\(= e^{(0.347-0.785) + i(0.785+0.347)}\)
\(\approx 0.274 + 0.584i\)
Spezialfälle und Rechenregeln
Ganzzahlige Exponenten
Für ganzzahlige \(n\) ist \(z^n\) eindeutig:
\(z^2 = z \cdot z\)
\(z^3 = z \cdot z \cdot z\)
\(z^{-n} = \frac{1}{z^n}\)
Mit Polarform:
\(z^n = r^n e^{in\phi}\)
Wurzeln (rationale Exponenten)
\(z^{1/n} = \sqrt[n]{z}\) hat \(n\) verschiedene Werte:
\[z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\phi + 2\pi k)/n}\]
mit \(k = 0, 1, ..., n-1\)
Dieser Rechner liefert den Hauptwert (k=0)
Vorsicht bei Rechenregeln!
Gilt NICHT immer:
❌ \(z^{w_1 + w_2} = z^{w_1} \cdot z^{w_2}\)
❌ \((z^{w_1})^{w_2} = z^{w_1 w_2}\)
❌ \((z_1 z_2)^w = z_1^w \cdot z_2^w\)
Gilt nur für:
✅ Ganzzahlige Exponenten
✅ Positive reelle Basen
Mehrdeutigkeit
Der komplexe Logarithmus ist mehrdeutig:
\[\ln z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k)\]
mit \(k \in \mathbb{Z}\)
Daher: \(z^w = e^{w(\ln|z| + i(\arg z + 2\pi k))}\)
hat unendlich viele Werte für nicht-ganzzahlige w!
Potenz komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung
Definition
Die Potenz einer komplexen Zahl mit komplexem Exponenten wird über die Exponentialfunktion und den Logarithmus definiert:
1. Logarithmus der Basis: \(\ln z\)
2. Multiplikation mit Exponent: \(w \ln z\)
3. Exponentialfunktion anwenden: \(e^{w \ln z}\)
Berechnung mit Polarform
In Polarform ist die Berechnung oft einfacher:
Sei \(z = re^{i\phi}\) und \(w = c + di\), dann:
Betrag: \(r^c e^{-d\phi}\)
Argument: \(c\phi + d\ln r\)
Praktische Anwendungen
Komplexe Potenzen finden in vielen Bereichen Anwendung:
• Fraktale: Mandelbrot-Menge, Julia-Mengen
• Quantenmechanik: Energie-Eigenwerte
• Signalverarbeitung: Frequenzanalyse
• Differentialgleichungen: Komplexe Lösungen
Visualisierung
Die Potenzfunktion \(f(z) = z^w\) für festes w:
- Ganzzahlige w: \(w\)-fache Drehung und Streckung
- Rationale w = p/q: q-blättrige Riemann-Fläche
- Reelle w: Spirale in der komplexen Ebene
- Komplexe w: Komplexe Deformation
Hauptwert
Da der Logarithmus mehrdeutig ist, definiert man den
Hauptwert der Potenz durch Verwendung des
Hauptwerts des Logarithmus:
\[\text{Log}(z) = \ln|z| + i\arg(z)\]
mit \(-\pi < \arg(z) \leq \pi\)
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Weitere Komplexe Funktionen
Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •Cosh • Sinh • Tanh •
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