Natürlicher Logarithmus komplexer Zahlen
Berechnung von \(\ln(z)\) - der Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion
Logarithmus-Rechner
Natürlicher Logarithmus \(\ln(z)\)
Der natürliche Logarithmus (Basis \(e\)) einer komplexen Zahl ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Der Logarithmus ist mehrdeutig und wird hier als Hauptwert berechnet.
Logarithmus - Eigenschaften
Hauptwert (Principal Value)
Mit \(-\pi < \arg(z) \leq \pi\)
Komponenten
Imaginärteil: \(\text{Im}(\ln z) = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)
Mehrdeutigkeit
Allgemein: \(\ln(z) = \ln|z| + i(\arg(z) + 2\pi k)\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)
Unendlich viele Werte!
Dieser Rechner liefert den Hauptwert (k=0)
Wichtige Eigenschaften
- \(\ln(z_1 \cdot z_2) = \ln(z_1) + \ln(z_2)\) (modulo \(2\pi i\))
- \(\ln(z_1 / z_2) = \ln(z_1) - \ln(z_2)\) (modulo \(2\pi i\))
- \(\ln(z^n) = n\ln(z)\) (modulo \(2\pi i\))
- \(e^{\ln(z)} = z\) (eindeutig)
Umkehrfunktion
\(\ln(z)\) ist die Umkehrfunktion von \(e^z\):
Wenn \(w = e^z\), dann \(z = \ln(w)\)
Formeln zum natürlichen Logarithmus
Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) wird berechnet durch:
Standardformel
Mit \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\) und \(\arg(z) = \arctan(b/a)\)
Komponentenform
Direkte Berechnung aus Real- und Imaginärteil
Berechnungsbeispiel
Berechnung: \(\ln(3 + 5i)\)
Schritt 1: Gegeben
\(z = 3 + 5i\)
Realteil: \(a = 3\)
Imaginärteil: \(b = 5\)
Schritt 2: Realteil
\(\text{Re}(\ln z) = \frac{1}{2}\ln(a^2+b^2)\)
\(= \frac{1}{2}\ln(3^2 + 5^2)\)
\(= \frac{1}{2}\ln(9 + 25)\)
\(= \frac{1}{2}\ln(34)\)
\(\approx 1.763\)
Schritt 3: Imaginärteil
\(\text{Im}(\ln z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)
\(= \arctan\left(\frac{5}{3}\right)\)
\(\approx 1.030\) rad
(≈ 59.04°)
Schritt 4: Ergebnis
\[\ln(3 + 5i) = 1.763 + 1.030i\]
Der Imaginärteil ist im Bogenmaß (Radiant) angegeben
Verifikation
Probe mit Exponentialfunktion:
\(e^{1.763+1.030i} = e^{1.763} \cdot e^{1.030i}\)
\(= 5.831 \cdot (\cos 1.030 + i\sin 1.030)\)
\(= 5.831 \cdot (0.515 + 0.857i)\)
\(\approx 3.0 + 5.0i\) ✓
Alternative Berechnung:
\(|z| = \sqrt{3^2+5^2} = \sqrt{34} \approx 5.831\)
\(\ln|z| = \ln(5.831) \approx 1.763\) ✓
\(\arg(z) = \arctan(5/3) \approx 1.030\) ✓
Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus
Problem: Unendlich viele Werte
Der komplexe Logarithmus ist nicht eindeutig!
mit \(k \in \mathbb{Z}\) (beliebige ganze Zahl)
Grund: Die Exponentialfunktion ist periodisch: \(e^{z+2\pi i} = e^z\)
Beispiel: \(\ln(1)\)
Mögliche Werte:
- \(k=0\): \(\ln(1) = 0\) (Hauptwert)
- \(k=1\): \(\ln(1) = 2\pi i\)
- \(k=-1\): \(\ln(1) = -2\pi i\)
- \(k=2\): \(\ln(1) = 4\pi i\)
- usw. (unendlich viele!)
Lösung: Hauptwert (Principal Value)
Um Eindeutigkeit zu erhalten, definiert man den Hauptwert:
mit \(-\pi < \arg(z) \leq \pi\) (Hauptwertzweig)
Dies entspricht \(k=0\) in der allgemeinen Formel
Verzweigungsschnitt (Branch Cut)
Der Hauptwert hat einen Verzweigungsschnitt entlang der
negativen reellen Achse. Beim Überqueren springt der Imaginärteil um \(2\pi\).
Vorsicht: Bei negativen reellen Zahlen ist der Imaginärteil \(\pm\pi\)
(je nach Konvention)
Grafische Darstellung der Mehrdeutigkeit
Hauptwert: \(0\)
Andere: \(2\pi ki\)
Hauptwert: \(\pi i\)
Andere: \(\pi i + 2\pi ki\)
Hauptwert: \(\frac{\pi}{2}i\)
Andere: \(\frac{\pi}{2}i + 2\pi ki\)
Natürlicher Logarithmus - Detaillierte Beschreibung
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Der natürliche Logarithmus \(\ln(z)\) ist die Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion \(e^z\).
• Wenn \(w = e^z\), dann \(z = \ln(w)\)
• Es gilt: \(e^{\ln(z)} = z\) (eindeutig)
• Aber: \(\ln(e^z) = z + 2\pi ik\) (mehrdeutig!)
• Hauptwert: \(\ln(e^z) = z\) für \(\text{Im}(z) \in (-\pi, \pi]\)
Berechnung mit Polarform
Wenn \(z = r e^{i\phi}\) in Polarform, dann:
Mit \(r = |z|\) und \(\phi = \arg(z)\)
Praktische Anwendungen
Der komplexe Logarithmus findet Anwendung in vielen Bereichen:
• Komplexe Analysis: Konforme Abbildungen
• Elektrotechnik: Bode-Diagramme, Filter-Design
• Signalverarbeitung: Spektralanalyse
• Physik: Quantenmechanik, Strömungslehre
Rechenregeln
Vorsicht bei Rechenregeln!
Die bekannten Logarithmusregeln gelten nur modulo \(2\pi i\):
• \(\ln(z_1 \cdot z_2) = \ln(z_1) + \ln(z_2) + 2\pi ik\)
• \(\ln(z^n) = n\ln(z) + 2\pi ik\)
• Der Hauptwert erfüllt die Regeln nur näherungsweise!
Spezialfälle
- Reelle positive Zahlen: \(\ln(a) = \ln(a) + 0i\) (wie reell)
- Reelle negative Zahlen: \(\ln(-a) = \ln(a) + \pi i\)
- Imaginäre Einheit: \(\ln(i) = \frac{\pi}{2}i\)
- Eins: \(\ln(1) = 0\) (Hauptwert)
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