Tangens (tan) für komplexe Zahlen

Berechnung von tan(z) - Verhältnis von Sinus zu Kosinus

Tangens-Rechner

Tangens komplexer Zahlen

Der Tangens tan(z) ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus: \(\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\). Für komplexe Zahlen ist er eine periodische Funktion mit Periode π und hat Polstellen bei (2k+1)π/2.

Winkel z = x + yi (Bogenmaß)
+
i
Berechnungsergebnis
tan(z) =
Vorsicht: tan(z) hat Polstellen bei z = (2k+1)π/2, k ∈ ℤ!

Tangens - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\tan(z) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)} + i\frac{\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}\]

Mit z = x + yi

Quotientendarstellung
\[\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\]
Periode π
Ungerade Funktion tan(-z) = -tan(z)
Wichtige Eigenschaften
  • Periodisch mit Periode π
  • Ungerade Funktion: tan(-z) = -tan(z)
  • Polstellen bei z = (2k+1)π/2
  • \(1 + \tan^2(z) = \frac{1}{\cos^2(z)}\)
Beziehungen
  • \(\tan(z) = \frac{1}{\cot(z)}\)
  • \(\tan(2z) = \frac{2\tan(z)}{1-\tan^2(z)}\)
  • \(\tan(z \pm w) = \frac{\tan z \pm \tan w}{1 \mp \tan z \tan w}\)
  • \(\tanh(iz) = i\tan(z)\)


Formeln zum Tangens komplexer Zahlen

Der Tangens tan(z) einer komplexen Zahl z = x + yi ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus und kombiniert trigonometrische mit hyperbolischen Funktionen.

Kartesische Form
\[\tan(z) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)} + i\frac{\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}\]

Realteil: \(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}\)
Imaginärteil: \(\frac{\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}\)

Quotientendarstellung
\[\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\]

Verhältnis von Sinus zu Kosinus

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: tan(0.3 + 0.5i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 0.3 + 0.5i

x = 0.3, y = 0.5

2x = 0.6, 2y = 1.0

Schritt 2: Nenner berechnen

\(\cos(0.6) + \cosh(1.0)\)

\(= 0.825 + 1.543\)

\(\approx 2.368\)

Schritt 3: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \frac{\sin(0.6)}{2.368}\)

\(= \frac{0.565}{2.368}\)

\(\approx 0.238\)

Schritt 4: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = \frac{\sinh(1.0)}{2.368}\)

\(= \frac{1.175}{2.368}\)

\(\approx 0.496\)

Schritt 5: Ergebnis

\(\tan(0.3 + 0.5i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx 0.238 + 0.496i\)

Weitere Beispiele

Beispiel 1: tan(0)

z = 0

\(\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)}\)

\(= \frac{0}{1} = 0\)

Beispiel 2: tan(π/4)

z = π/4 ≈ 0.7854

\(\tan(\pi/4) = \frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}\)

\(= \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1\)

Beispiel 3: tan(i)

z = i (rein imaginär)

\(\tan(i) = i\tanh(1)\)

\(\approx 0.762i\)

Beispiel 4: tan(π/6)

z = π/6 ≈ 0.5236

\(\tan(\pi/6) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\approx 0.577\)

Beispiel 5: tan(π/2) - Pol!

z = π/2 ≈ 1.5708

\(\cos(\pi/2) = 0\)

Nicht definiert (Polstelle)!

Beispiel 6: tan(1 + i)

z = 1 + i

\(\approx 0.272 + 1.084i\)

Tangens - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus.

Quotientendarstellung:
\[\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\]

Für reelle Zahlen:
Im rechtwinkligen Dreieck:
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]
Wertebereich: (-∞, ∞)
Periode: π

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\tan(z) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)} + i\frac{\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}\]

• Nicht beschränkt
• Polstellen bei (2k+1)π/2

Wichtige Eigenschaften

  • Periodizität: \(\tan(z + \pi) = \tan(z)\)
  • Ungerade Funktion: \(\tan(-z) = -\tan(z)\)
  • Polstellen: bei \(z = \frac{(2k+1)\pi}{2}\)
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\tan(z) = \frac{1}{\cos^2(z)}\)

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\tan(z \pm w) = \frac{\tan z \pm \tan w}{1 \mp \tan z \tan w}\]
Doppelwinkel:
\[\tan(2z) = \frac{2\tan(z)}{1-\tan^2(z)}\]

Beziehung zu anderen Funktionen

• \(\tan(z) = \frac{1}{\cot(z)}\) (Kehrwert des Kotangens)
• \(\tanh(iz) = i\tan(z)\) (hyperbolisch ↔ trigonometrisch)
• \(\tan(iz) = i\tanh(z)\) (Umkehrung)
• \(1 + \tan^2(z) = \frac{1}{\cos^2(z)} = \sec^2(z)\)

Polstellen

Vorsicht: Singularitäten!

Der Tangens hat Polstellen (Singularitäten), wo der Nenner Null wird:

\[\tan(z) \text{ undefiniert für } z = \frac{(2k+1)\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Beispiele:
• tan(π/2) → ∞ (nicht definiert)
• tan(3π/2) → ∞ (nicht definiert)
• tan(-π/2) → -∞ (nicht definiert)

Anwendungen

Geometrie
  • Steigungsberechnung
  • Winkelbestimmung
  • Neigungswinkel
  • Dreiecksberechnungen
Physik
  • Wurfparabel
  • Optik (Brechung)
  • Schwingungen
  • Phasenanalyse
Ingenieurwesen
  • Straßenbau (Steigungen)
  • Navigation
  • Geodäsie
  • Baustatik
Periode: π statt 2π

Im Gegensatz zu Sinus und Kosinus hat der Tangens eine Periode von π (nicht 2π):

\[\tan(z + \pi) = \tan(z)\]

Grund: \(\tan(z + \pi) = \frac{\sin(z+\pi)}{\cos(z+\pi)} = \frac{-\sin(z)}{-\cos(z)} = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} = \tan(z)\)
Sowohl Zähler als auch Nenner wechseln das Vorzeichen!

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Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
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