Kehrwert (Reziprokwert) komplexer Zahlen

Berechnung von \(\frac{1}{z}\) - dem multiplikativen Inversen

Kehrwert-Rechner

Kehrwert (Reziprokwert)

Der Kehrwert \(\frac{1}{z}\) einer komplexen Zahl ist das multiplikative Inverse: \(z \cdot \frac{1}{z} = 1\). Berechnet wird er durch Erweitern mit der konjugierten Zahl.

Komplexe Zahl z = a + bi

Realteil (a)

Imaginärteil (b)

Dezimalstellen

Berechnungsergebnis

\(\frac{1}{z}\) =

Kehrwert - Eigenschaften

Formel

\[\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i\]

Erweitern mit der konjugierten Zahl

Komponentenform

\[\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{a}{a^2+b^2}\] \[\text{Im}\left(\frac{1}{z}\right) = -\frac{b}{a^2+b^2}\]

Nenner \(|z|^2 = a^2+b^2\)

Zähler \(\overline{z} = a-bi\)

Wichtige Eigenschaften

\(z \cdot \frac{1}{z} = 1\) (Definition)
\(\frac{1}{z} = z^{-1}\) (Potenzschreibweise)
\(\frac{1}{\frac{1}{z}} = z\) (Involution)
\(\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}\) (Betrag)

Nicht definiert für z = 0

Der Kehrwert ist nur für \(z \neq 0\) definiert. Division durch Null ist nicht möglich!

Mit Polarform

Für \(z = re^{i\phi}\):
\[\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\phi}\] Regel: Betrag invertieren, Winkel negieren

Formel zur Berechnung des Kehrwerts

Der Kehrwert (Reziprokwert) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) wird berechnet, indem man mit der konjugierten Zahl erweitert.

Herleitung

\[\frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi}\] \[= \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\]

Erweitern mit der Konjugierten macht den Nenner reell

Endformel

\[\frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i\]

Real- und Imaginärteil durch \(|z|^2 = a^2+b^2\) teilen

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: \(\frac{1}{3+5i}\)

Schritt 1: Mit Konjugierter erweitern

\(\frac{1}{3+5i} = \frac{1}{3+5i} \cdot \frac{3-5i}{3-5i}\)

Konjugierte von \(3+5i\) ist \(3-5i\)

Schritt 2: Zähler

Zähler: \(1 \cdot (3-5i) = 3-5i\)

Schritt 3: Nenner

\((3+5i)(3-5i) = 9 - 25i^2\)

\(= 9 - 25(-1) = 9 + 25 = 34\)

Schritt 4: Division

\(\frac{3-5i}{34} = \frac{3}{34} - \frac{5}{34}i\)

Schritt 5: Dezimalwert

\(\frac{3}{34} \approx 0.088\)

\(\frac{5}{34} \approx 0.147\)

\(\frac{1}{3+5i} \approx 0.088 - 0.147i\)

Verifikation

Probe: \((3+5i)(0.088-0.147i)\)
\(= 0.264 - 0.441i + 0.440i - 0.735i^2\)
\(= 0.264 - 0.001i + 0.735\)
\(\approx 1.0\) ✓

Alternative Berechnung mit Formel

Realteil:
\[\frac{a}{a^2+b^2} = \frac{3}{3^2+5^2} = \frac{3}{34} \approx 0.088\]

Imaginärteil:
\[-\frac{b}{a^2+b^2} = -\frac{5}{34} \approx -0.147\]

Weitere Beispiele

Beispiel 1: \(\frac{1}{i}\)

\(\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i}\)

\(= \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1}\)

\(= -i\)

Beispiel 2: \(\frac{1}{1+i}\)

\(\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\)

\(= \frac{1-i}{1-i^2} = \frac{1-i}{2}\)

\(= 0.5 - 0.5i\)

Beispiel 3: \(\frac{1}{2}\) (reell)

\(\frac{1}{2+0i} = \frac{2}{2^2+0^2}\)

\(= \frac{2}{4}\)

\(= 0.5 + 0i\)

Beispiel 4: Mit Polarform

Für \(z = 2e^{i\pi/3}\) (Betrag 2, Winkel 60°):

\(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}e^{-i\pi/3}\)

Betrag: 0.5, Winkel: -60°

Beispiel 5: \(\frac{1}{3-4i}\)

\(|3-4i|^2 = 9 + 16 = 25\)

\(\frac{1}{3-4i} = \frac{3+4i}{25}\)

\(= 0.12 + 0.16i\)

Kehrwert komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung

Multiplikatives Inverses

Der Kehrwert \(\frac{1}{z}\) ist das multiplikative Inverse der komplexen Zahl \(z\).

Definition:
\(z \cdot \frac{1}{z} = 1\) für alle \(z \neq 0\)

Notation:
\(\frac{1}{z} = z^{-1}\) (Potenzschreibweise)

Berechnung

Der Trick ist, mit der konjugierten Zahl zu erweitern:

\[\frac{1}{a+bi} = \frac{1}{a+bi} \cdot \frac{a-bi}{a-bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\]

Der Nenner wird reell: \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2 = |z|^2\)

Mit Polarform (einfacher!)

In Polarform ist der Kehrwert besonders einfach zu berechnen:

Für \(z = re^{i\phi}\):
\[\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\phi}\] Regel:
• Betrag: \(\frac{1}{r}\) (invertieren)
• Winkel: \(-\phi\) (negieren)

Praktische Anwendungen

Verwendung:
• Division: \(\frac{z_1}{z_2} = z_1 \cdot \frac{1}{z_2}\)
• Elektrotechnik: Impedanz-Berechnungen
• Regelungstechnik: Rückkopplungen
• Geometrie: Inversion am Einheitskreis

Wichtige Eigenschaften

\(\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}\) (Betrag invertiert sich)
\(\arg\left(\frac{1}{z}\right) = -\arg(z)\) (Winkel negiert sich)
\(\overline{\frac{1}{z}} = \frac{1}{\overline{z}}\) (Konjugation vertauscht)
\(\frac{1}{\frac{1}{z}} = z\) (Involution)

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye