Exponentiell skalierte Bessel-Je Funktion für komplexe Zahlen

Berechnung der exponentiell skalierten Bessel-Funktion \(J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z)\) der ersten Art

Bessel-Je Funktionsrechner

Exponentiell skalierte Bessel-Funktion \(J_e(z)\)

Die exponentiell skalierte Bessel-Funktion \(J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z)\) verhindert numerische Überläufe bei großen Argumenten und kombiniert oszillierendes Verhalten mit numerischer Stabilität.

Komplexes Argument z = a + bi
+
i
Ganzzahlige oder rationale Ordnung der Bessel-Funktion
Berechnungsergebnis
\(J_e(z)\) =

Bessel-Je Eigenschaften

Skalierung

Exponentiell

Faktor: \(e^{-|z|}\)

Verhindert Overflow
Verhalten

Oszillierend

Typ: \(J_\nu(z)\)

Gedämpfte Schwingung
Ordnung

ν ∈ ℝ

Beliebige reelle Zahl

Ganzzahlig oder rational
Argument

z ∈ ℂ

Komplex: a+bi

Reell- und Imaginärteil
Wichtige Eigenschaften
  • Numerisch stabile Berechnung bei großen |z|
  • Kombiniert Oszillation mit exponentieller Dämpfung
  • Definiert als: \(J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z)\)
  • Asymptotisch: \(J_e(z) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi|z|}}\) für |z| → ∞
BesselJ

Plot der Bessel-J Funktion (vor exponentieller Skalierung)


Definition der exponentiell skalierten Bessel-Je Funktion

Die exponentiell skalierte gewöhnliche Bessel-Funktion \(J_e(z)\) ist definiert als:

Skalierte Definition
\[J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z) = e^{-|z|} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m + \nu + 1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m + \nu}\]

Exponentiell skalierte Version zur Vermeidung numerischer Überläufe bei oszillierenden Funktionen

Numerische Stabilität
\[|J_e(z)| \leq \frac{C}{\sqrt{|z|}}\]

Begrenzt für große |z|, verhindert Oszillations-Overflow

Beziehung zur Bessel-J
\[J_\nu(z) = e^{|z|} J_e(z)\]

Rücktransformation zur ursprünglichen Funktion

Wichtige Eigenschaften der skalierten Bessel-Je Funktion

Asymptotisches Verhalten
\[J_e(z) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi|z|}} \cos\left(|z| - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) e^{-|z|}\]

Oszillation mit exponentieller Dämpfung für große |z|

Numerische Vorteile
\[\max|J_e(z)| < \infty \quad \text{für alle } z\]

Begrenzte Werte verhindern Overflow trotz Oszillation

Skalierungsfaktor
\[s(z) = e^{-|z|} = e^{-\sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}}\]

Exponentieller Dämpfungsfaktor basierend auf dem Betrag von z

Rekurrenzrelationen
\[J_{e,\nu-1}(z) + J_{e,\nu+1}(z) = \frac{2\nu}{z} J_{e,\nu}(z)\]

Skalierte Rekurrenzrelationen gelten analog

Anwendungen der skalierten Bessel-Je Funktion

Numerische Analyse
Große Argumente Oszillations-Kontrolle Stabile Algorithmen Präzise Berechnung
Wellenphysik
Zylinderwellen:
Fernfeld-Analyse
Streuprobleme
Akustik:
Schwingungsmoden
Resonanzanalyse
Elektromagnetik

Wellenleiter

Antennentheorie

Fernfeld-Muster

Quantenphysik

Streutheorie

Zylinderpotentiale

Asymptotische Lösungen

Phasenverschiebungen

Exponentiell skalierte Bessel-Je Funktionen - Detaillierte Beschreibung

Numerische Stabilität bei Oszillation

Die exponentiell skalierte Bessel-Je Funktion \(J_e(z)\) wurde entwickelt, um die numerischen Probleme der gewöhnlichen Bessel-Funktion \(J_\nu(z)\) bei großen Argumenten zu lösen, wo die Oszillationen sehr groß werden können.

Problemstellung:
• \(J_\nu(z)\) oszilliert mit wachsender Amplitude für große |z|
• Numerische Instabilitäten in oszillierenden Bereichen
• Präzisionsverlust bei großen Amplituden
• Schwierige Berechnung von Differenzen

Lösungsansatz

Durch die Definition \(J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z)\) wird die oszillierende Funktion mit einer exponentiellen Dämpfung versehen, sodass die resultierende Funktion numerisch stabil bleibt.

Vorteile der Skalierung

Ohne Skalierung: \(J_\nu(100)\) kann sehr große Oszillationen zeigen
Mit Skalierung: \(J_{e,\nu}(100)\) bleibt im stabilen Bereich

Mathematische Eigenschaften

Die skalierte Funktion behält alle wichtigen mathematischen Eigenschaften der ursprünglichen oszillierenden Bessel-Funktion bei, ist aber numerisch stabiler.

Erhaltene Eigenschaften:
• Rekurrenzrelationen bleiben gültig
• Oszillationscharakter erhalten
• Symmetriebeziehungen bestehen fort
• Nullstellen bleiben erhalten

Implementierung

In der numerischen Praxis wird die skalierte Version für große Argumente verwendet und das Ergebnis bei Bedarf zurücktransformiert:

\[J_\nu(z) = e^{|z|} \cdot J_e(z)\]

Rücktransformation nur wenn explizit benötigt

Computerimplementierung

Moderne Bibliotheken verwenden die skalierte Version automatisch für große Argumente und handhaben die Skalierung transparent.

Vergleich: Skaliert vs. Unskaliert

Unskalierte Bessel-J Funktion
Definition: \(J_\nu(z)\)
Verhalten: Oszillation mit variierender Amplitude
Probleme: Große Amplituden bei großen |z|
Numerik: Kann instabil werden
Skalierte Bessel-Je Funktion
Definition: \(J_e(z) = e^{-|z|} J_\nu(z)\)
Verhalten: Gedämpfte Oszillation
Vorteile: Stabile Amplituden
Bereich: Alle |z| (praktisch unbegrenzt)
Praktische Anwendungsrichtlinien
  • Kleine |z| ≤ 10: Beide Versionen verwendbar
  • Mittlere |z| ≤ 50: Skalierte Version empfohlen
  • Große |z| > 50: Nur skalierte Version verwenden
  • Oszillationsanalyse: Immer skalierte Version
  • Fernfeld-Berechnungen: Skalierte Version bevorzugen
  • Wellenleiter-Probleme: Skalierung transparent

Bessel-Funktionen - Vollständige Definitionen und Skalierung

Gewöhnliche Bessel-Funktionen

Die Bessel-Funktion erster Art n-ter Ordnung ist definiert als:

\[J_{\nu}(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m + \nu + 1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m + \nu}\]

Die exponentiell skalierte Version ist:

\[J_e(z) = e^{-|z|} J_{\nu}(z)\]

Die Bessel-Funktion zweiter Art ist:

\[Y_{\nu}(z) = \frac{J_{\nu}(z) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Modifizierte Bessel-Funktionen

Die modifizierte Bessel-Funktion erster Art ist:

\[I_{\nu}(z) = i^{-\nu} J_{\nu}(iz)\]

Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art ist:

\[K_{\nu}(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_{\nu}(z)}{\sin(\nu \pi)}\]
Anwendungsgebiete

Die exponentiell skalierte Bessel-Je Funktion ist besonders wichtig für Fernfeld-Analysen, Wellenausbreitung in Zylindersystemen, Streuprobleme und alle Bereiche, wo oszillierende Funktionen mit großen Argumenten auftreten. Sie ermöglicht stabile Berechnungen auch bei extremen Oszillationen.

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