Arkustangens (arctan) für komplexe Zahlen

Berechnung von arctan(z) - der Umkehrfunktion des Tangens

Arctan-Rechner

Arkustangens (arctan)

Der Arkustangens arctan(z) ist die Umkehrfunktion des Tangens: Wenn \(\tan(w) = z\), dann ist \(w = \arctan(z)\). Für komplexe Zahlen ist die Funktion mehrdeutig und hat unendlich viele Werte.

Tangenswert z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
arctan(z) (Hauptwert) =
Die Funktion ist mehrdeutig: Alle Werte sind \(w + \pi k\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

Arctan - Eigenschaften

Formel
\[\arctan(z) = \frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+z}{i-z}\right)\]

Mit komplexem Logarithmus

Definition
\[\tan(\arctan(z)) = z\]
Reelle Zahlen ℝ → (-π/2, π/2)
Komplex Mehrdeutig
Wichtige Eigenschaften
  • Umkehrfunktion von tan(z)
  • Mehrdeutig: \(w + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)
  • Hauptwert: \(\text{Re}(w) \in (-\pi/2, \pi/2)\)
  • \(\arctan(-z) = -\arctan(z)\) (ungerade)
Beziehungen
  • \(\arctan(z) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)\)
  • \(\tan(\arctan(z)) = z\) (Definition)
  • \(\arctan(\tan(z)) = z + \pi k\)
  • \(\arctan(1/z) = \frac{\pi}{2} - \arctan(z)\) (für z>0)

Formeln zum Arkustangens komplexer Zahlen

Der Arkustangens arctan(z) ist die Umkehrfunktion des Tangens und wird durch den komplexen Logarithmus definiert.

Hauptformel
\[\arctan(z) = \frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+z}{i-z}\right)\]

Mit \(\ln\) = komplexer Logarithmus

Alternative Form
\[\arctan(z) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)\]

Äquivalente Darstellung

Arkustangens - Detaillierte Beschreibung

Definition und Bedeutung

Der Arkustangens (auch Arctan oder atan) ist die Umkehrfunktion der Tangensfunktion.

Definition:
\[\tan(\arctan(z)) = z\]
Der Arkustangens gibt den Winkel (in Bogenmaß) zurück,
dessen Tangens den Wert z hat.

Notation:
arctan(z), atan(z), oder \(\tan^{-1}(z)\)

Für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen \(x \in \mathbb{R}\):

Wertebereich:

\[\arctan(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\]

• arctan(∞) = π/2 ≈ 1.5708 rad = 90°
• arctan(0) = 0
• arctan(-∞) = -π/2 ≈ -1.5708 rad = -90°

Für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen ist arctan mehrdeutig:

Mehrdeutigkeit:
Wenn \(w = \arctan(z)\), dann sind auch
\[w + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
gültige Lösungen.

Hauptwert:
Der Hauptwert hat \(\text{Re}(w) \in (-\pi/2, \pi/2)\)

Periodizität:
Periode π (nicht 2π wie bei sin/cos!)

Wichtige Beziehungen

  • \(\arctan(-z) = -\arctan(z)\) (ungerade)
  • \(\arctan(1/z) = \frac{\pi}{2} - \arctan(z)\) (für z>0)
  • \(\arctan(\overline{z}) = \overline{\arctan(z)}\)
  • \(\arctan(z) = \arcsin\left(\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)\)

Singularitäten

Vorsicht bei z = ±i:
arctan(i) und arctan(-i) sind undefiniert!
Dies sind Polstellen der Funktion.
Der Tangens ist nicht injektiv bei diesen Werten.

Geometrische Bedeutung (reelle Zahlen)

Rechtwinkliges Dreieck:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist:
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]
Der Arkustangens berechnet den Winkel α:
\[\alpha = \arctan\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)\]
Beispiel:
Gegenkathete: a = 4
Ankathete: b = 3
\[\tan(\alpha) = \frac{4}{3} \approx 1.333\]
\[\alpha = \arctan(1.333) \approx 0.9273 \text{ rad}\]
\[\alpha \approx 53.13°\]

atan2-Funktion

Zweiargument-Arkustangens

Die atan2(y, x)-Funktion berechnet \(\arctan(y/x)\) und berücksichtigt dabei automatisch alle vier Quadranten:

\[\text{atan2}(y, x) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \text{Quadrantenkorrektur}\]

Wertebereich: (-π, π] (voller Kreis!)
Vorteil: Vermeidet Division durch Null und liefert korrekten Quadranten

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: arctan(1)

Reelle Zahl: z = 1

\(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)

≈ 0.7854 rad = 45°

Beispiel 2: arctan(√3)

z = √3 ≈ 1.732

\(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)

≈ 1.0472 rad = 60°

Beispiel 3: arctan(0)

Nullpunkt: z = 0

\(\arctan(0) = 0\)

= 0 rad = 0°

Beispiel 4: arctan(0.4 + 0.3i)

Komplexe Zahl: z = 0.4 + 0.3i

Verwende Formel:

\(\arctan(z) = \frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+z}{i-z}\right)\)

Ergebnis: siehe Rechner oben

Beispiel 5: arctan(i) - Singularität!

z = i (imaginäre Einheit)

\(\arctan(i)\) ist undefiniert!

Polstelle der Funktion

Beispiel 6: arctan(2i)

Rein imaginär: z = 2i

\(\arctan(2i) = \frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+2i}{i-2i}\right)\)

≈ 0 + 0.549i

Spezielle Werte (reell)
arctan(0)
= 0
arctan(1)
= π/4 = 45°
arctan(√3)
= π/3 = 60°
arctan(∞)
→ π/2 = 90°

Anwendungen

Geometrie & Navigation
  • Winkelberechnung aus Seitenverhältnis
  • Steigungswinkel bestimmen
  • Richtungswinkel (atan2)
  • Polarkoordinaten
Physik & Technik
  • Wurfparabel (Abwurfwinkel)
  • Impedanz in Wechselstrom
  • Phasenverschiebung
  • Signalverarbeitung
Mathematik
  • Komplexe Analysis
  • Integralrechnung
  • Differentialgleichungen
  • Numerische Methoden

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye