Dekadischer Logarithmus komplexer Zahlen

Berechnung von \(\log_{10}(z)\) - Logarithmus zur Basis 10

Log₁₀-Rechner

Dekadischer Logarithmus \(\log_{10}(z)\)

Der dekadische Logarithmus (Basis 10) einer komplexen Zahl wird durch Umrechnung des natürlichen Logarithmus berechnet: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\)

Komplexe Zahl z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
\(\log_{10}(z)\) =
Umrechnung: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)} = \frac{\ln(z)}{2.302585}\)

Log₁₀ - Eigenschaften

Basisumrechnung
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\]

Umrechnung vom natürlichen zum dekadischen Logarithmus

Formel
\[\log_{10}(z) = \frac{\log_{10}|z| + i\arg(z)}{\ln(10)}\]
Basis 10
ln(10) ≈ 2.303
Wichtige Eigenschaften
  • \(\log_{10}(z_1 \cdot z_2) = \log_{10}(z_1) + \log_{10}(z_2)\)
  • \(\log_{10}(z_1 / z_2) = \log_{10}(z_1) - \log_{10}(z_2)\)
  • \(\log_{10}(z^n) = n\log_{10}(z)\)
  • \(10^{\log_{10}(z)} = z\)
Spezialwerte
  • \(\log_{10}(10) = 1\)
  • \(\log_{10}(100) = 2\)
  • \(\log_{10}(1000) = 3\)
  • \(\log_{10}(1) = 0\)
  • \(\log_{10}(0.1) = -1\)
Umrechnung

Von ln zu log₁₀: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{2.302585}\)
Von log₁₀ zu ln: \(\ln(z) = 2.302585 \cdot \log_{10}(z)\)


Formeln zum dekadischen Logarithmus

Der dekadische Logarithmus (Basis 10) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) wird durch Umrechnung des natürlichen Logarithmus berechnet.

Basisumrechnung
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\]

Mit \(\ln(10) \approx 2.302585\)

Ausführliche Form
\[\log_{10}(z) = \frac{\ln|z| + i\arg(z)}{\ln(10)}\]

Mit Real- und Imaginärteil getrennt

Berechnungsbeispiel

Berechnung: \(\log_{10}(100 + 0i)\) und \(\log_{10}(3 + 4i)\)
Beispiel 1: Reelle Zahl \(\log_{10}(100)\)

Gegeben: \(z = 100 + 0i\)

Berechnung:

\(\log_{10}(100) = \frac{\ln(100)}{\ln(10)}\)

\(= \frac{4.605}{2.303} = 2\)

Ergebnis: \(2 + 0i\)

Wie im Reellen: \(10^2 = 100\) ✓

Weitere Beispiele

\(\log_{10}(10) = 1\)

\(\log_{10}(1000) = 3\)

\(\log_{10}(1) = 0\)

\(\log_{10}(0.1) = -1\)

Beispiel 2: Komplexe Zahl \(\log_{10}(3+4i)\)

Schritt 1: Natürlicher Logarithmus

\(|z| = \sqrt{3^2+4^2} = 5\)

\(\arg(z) = \arctan(4/3) \approx 0.927\) rad

\(\ln(z) = \ln(5) + 0.927i \approx 1.609 + 0.927i\)

Schritt 2: Umrechnung auf Basis 10

\(\log_{10}(z) = \frac{1.609 + 0.927i}{2.303}\)

Ergebnis: \(0.699 + 0.403i\)

Verifikation

Probe: \(10^{0.699+0.403i}\)
\(= 10^{0.699} \cdot 10^{0.403i}\)
\(= 5.0 \cdot (\cos(0.927) + i\sin(0.927))\)
\(\approx 3.0 + 4.0i\) ✓

Komponentenweise Berechnung
Realteil:
\[\text{Re}(\log_{10}(z)) = \frac{\ln|z|}{\ln(10)} = \frac{\frac{1}{2}\ln(a^2+b^2)}{\ln(10)}\]
Imaginärteil:
\[\text{Im}(\log_{10}(z)) = \frac{\arg(z)}{\ln(10)} = \frac{\arctan(b/a)}{\ln(10)}\]

Vergleich: log₁₀ vs. ln vs. log₂

Natürlicher Logarithmus (ln)

Basis: \(e \approx 2.718\)

Formel: \(\ln(z)\)

Anwendung: Analysis, Mathematik

Beispiel: \(\ln(e) = 1\)

Dekadischer Logarithmus (log₁₀)

Basis: \(10\)

Formel: \(\log_{10}(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(10)}\)

Anwendung: Physik, Technik, pH-Wert

Beispiel: \(\log_{10}(100) = 2\)

Binärer Logarithmus (log₂)

Basis: \(2\)

Formel: \(\log_2(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(2)}\)

Anwendung: Informatik, Bits

Beispiel: \(\log_2(8) = 3\)

Umrechnungsfaktoren

\(\ln(10) \approx 2.303\)

Faktor für ln → log₁₀

\(\ln(2) \approx 0.693\)

Faktor für ln → log₂

\(\frac{\ln(10)}{\ln(2)} \approx 3.322\)

Faktor für log₂ → log₁₀

Anwendungen des dekadischen Logarithmus

Naturwissenschaften

  • pH-Wert: \(\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\)
  • Dezibel (dB): \(L = 20\log_{10}\left(\frac{p}{p_0}\right)\)
  • Richterskala: Erdbebenstärke
  • Sternhelligkeit: Magnitude

Technik

  • Bode-Diagramm: Verstärkung in dB
  • Signalverarbeitung: Dynamikbereich
  • Akustik: Schalldruckpegel
  • Elektrotechnik: Dämpfung und Verstärkung

Praktische Beispiele

Beispiel: pH-Wert

Wenn \([\text{H}^+] = 10^{-7}\) mol/L
\(\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7\) (neutral)

Beispiel: Dezibel

Verstärkung um Faktor 100:
\(20\log_{10}(100) = 20 \cdot 2 = 40\) dB

Beispiel: Richterskala

Magnitude 5 ist 10-mal stärker als Magnitude 4:
\(\log_{10}(10) = 1\) Einheit Unterschied

Wichtiger Hinweis

Notation: In vielen Taschenrechnern und Programmiersprachen wird "\(\log\)" für \(\log_{10}\) verwendet, während "\(\ln\)" für den natürlichen Logarithmus steht. In der Mathematik bezeichnet "\(\log\)" oft den natürlichen Logarithmus!

Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye