Exponentiell skalierte Bessel-Ke Funktion für komplexe Zahlen

Berechnung der exponentiell skalierten Bessel-Funktion \(K_e(z) = e^z K_\nu(z)\) der zweiten Art

Bessel-Ke Funktionsrechner

Exponentiell skalierte Bessel-Funktion \(K_e(z)\)

Die exponentiell skalierte modifizierte Bessel-Funktion \(K_e(z) = e^z K_\nu(z)\) verhindert numerische Unterläufe bei großen Argumenten durch Kompensation des exponentiellen Abklingens von \(K_\nu(z)\).

Komplexes Argument z = a + bi
+
i
Ganzzahlige oder rationale Ordnung der Bessel-Funktion
Berechnungsergebnis
\(K_e(z)\) =

Bessel-Ke Eigenschaften

Skalierung

Exponentiell

Faktor: \(e^z\)

Verhindert Underflow
Original

Abklingend

Typ: \(K_\nu(z)\)

Exponentiell → 0
Ordnung

ν ∈ ℝ

Beliebige reelle Zahl

Ganzzahlig oder rational
Argument

z ∈ ℂ

Komplex: a+bi

Reell- und Imaginärteil
Wichtige Eigenschaften
  • Numerisch stabile Berechnung bei großen |z|
  • Kompensiert exponentielles Abklingen von \(K_\nu(z)\)
  • Definiert als: \(K_e(z) = e^z K_\nu(z)\)
  • Asymptotisch: \(K_e(z) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2z}}\) für |z| → ∞
BesselK

Plot der Bessel-K Funktion (vor exponentieller Skalierung)

Definition der exponentiell skalierten Bessel-Ke Funktion

Die exponentiell skalierte modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art \(K_e(z)\) ist definiert als:

Skalierte Definition
\[K_e(z) = e^z K_\nu(z) = e^z \cdot \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Exponentiell skalierte Version zur Vermeidung numerischer Unterläufe bei abklingenden Funktionen

Numerische Stabilität
\[K_e(z) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2z}} \text{ für } |z| \to \infty\]

Begrenzt für große |z|, verhindert Underflow

Beziehung zur Bessel-K
\[K_\nu(z) = e^{-z} K_e(z)\]

Rücktransformation zur ursprünglichen Funktion

Wichtige Eigenschaften der skalierten Bessel-Ke Funktion

Asymptotisches Verhalten
\[K_e(z) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2z}}\]

Beschränktes Verhalten für große |z| (ohne exponentiellen Faktor)

Numerische Vorteile
\[\min K_e(z) > 0 \quad \text{für große } |z|\]

Vermeidet Underflow trotz exponentiellen Abklingens von \(K_\nu\)

Skalierungsfaktor
\[s(z) = e^z = e^{\text{Re}(z)} \cdot e^{i\text{Im}(z)}\]

Exponentieller Verstärkungsfaktor kompensiert Abklingen

Rekurrenzrelationen
\[K_{e,\nu-1}(z) - K_{e,\nu+1}(z) = -\frac{2\nu}{z} K_{e,\nu}(z)\]

Skalierte Rekurrenzrelationen gelten analog

Anwendungen der skalierten Bessel-Ke Funktion

Numerische Analyse
Große Argumente Underflow-Vermeidung Stabile Algorithmen Präzise Berechnung
Wärmeleitung
Fernfeld:
Große Abstände
Stationäre Zustände
Diffusion:
Langzeit-Verhalten
Abklingprozesse
Quantenphysik

Yukawa-Potential

Abschirmung

Fernfeld-Analyse

Finanzmathematik

Optionspreise

Varianz-Gamma

Langzeit-Risiko

Tail-Verhalten

Exponentiell skalierte Bessel-Ke Funktionen - Detaillierte Beschreibung

Numerische Stabilität bei Abklingen

Die exponentiell skalierte Bessel-Ke Funktion \(K_e(z)\) wurde entwickelt, um die numerischen Probleme der modifizierten Bessel-Funktion \(K_\nu(z)\) bei großen Argumenten zu lösen, wo die Funktion exponentiell gegen Null abklingt.

Problemstellung:
• \(K_\nu(z) \sim e^{-z}/\sqrt{z}\) für große |z|
• Numerische Unterläufe (Underflow) bei großen |z|
• Präzisionsverlust durch sehr kleine Werte
• Schwierige Berechnung von Verhältnissen

Lösungsansatz

Durch die Definition \(K_e(z) = e^z K_\nu(z)\) wird die exponentiell abklingende Funktion mit einem exponentiellen Verstärkungsfaktor versehen, sodass die resultierende Funktion numerisch handhabbar bleibt.

Vorteile der Skalierung

Ohne Skalierung: \(K_\nu(100) \approx 10^{-44}\) (Underflow!)
Mit Skalierung: \(K_{e,\nu}(100) \approx 0.088\) (stabil)

Mathematische Eigenschaften

Die skalierte Funktion behält alle wichtigen mathematischen Eigenschaften der ursprünglichen abklingenden Bessel-Funktion bei, ist aber numerisch stabiler.

Erhaltene Eigenschaften:
• Rekurrenzrelationen bleiben gültig
• Symmetriebeziehungen bestehen fort
• Singularität am Ursprung erhalten
• Asymptotisches Verhalten bekannt

Implementierung

In der numerischen Praxis wird die skalierte Version für große Argumente verwendet und das Ergebnis bei Bedarf zurücktransformiert:

\[K_\nu(z) = e^{-z} \cdot K_e(z)\]

Vorsicht: Rücktransformation kann wieder Underflow verursachen!

Computerimplementierung

Moderne Bibliotheken verwenden die skalierte Version automatisch für große Argumente und handhaben die Skalierung transparent im Hintergrund.

Vergleich: Skaliert vs. Unskaliert

Unskalierte Bessel-K Funktion
Definition: \(K_\nu(z)\)
Verhalten: Exponentiell abklingend
Probleme: Underflow bei großen |z|
Numerik: Kritisch für |z| > 50
Skalierte Bessel-Ke Funktion
Definition: \(K_e(z) = e^z K_\nu(z)\)
Verhalten: Asymptotisch konstant
Vorteile: Keine Underflow-Probleme
Bereich: Alle |z| (praktisch unbegrenzt)
Praktische Anwendungsrichtlinien
  • Kleine |z| ≤ 10: Beide Versionen verwendbar
  • Mittlere |z| ≤ 50: Skalierte Version empfohlen
  • Große |z| > 50: Nur skalierte Version verwenden
  • Wärmeleitung: Immer skalierte Version im Fernfeld
  • Yukawa-Potential: Skalierung für große Abstände
  • Finanzmathematik: Skalierung transparent

Bessel-Funktionen - Vollständige Definitionen und Skalierung

Gewöhnliche Bessel-Funktionen

Die Bessel-Funktion erster Art n-ter Ordnung ist definiert als:

\[J_{\nu}(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m + \nu + 1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m + \nu}\]

Die Bessel-Funktion zweiter Art ist:

\[Y_{\nu}(z) = \frac{J_{\nu}(z) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Modifizierte Bessel-Funktionen

Die modifizierte Bessel-Funktion erster Art ist:

\[I_{\nu}(z) = i^{-\nu} J_{\nu}(iz)\]

Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art ist:

\[K_{\nu}(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_{\nu}(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Die exponentiell skalierte Version ist:

\[K_e(z) = e^z K_{\nu}(z)\]
Anwendungsgebiete

Die exponentiell skalierte Bessel-Ke Funktion ist besonders wichtig für Fernfeld-Analysen mit exponentiell abklingenden Lösungen, Wärmeleitung über große Distanzen, Yukawa-Potentiale und alle Bereiche, wo \(K_\nu(z)\) bei großen Argumenten berechnet werden muss.


Weitere Komplexe Funktionen

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