Sinus (sin) für komplexe Zahlen

Berechnung von sin(z) - trigonometrische Funktion im Komplexen

Sinus-Rechner

Sinus komplexer Zahlen

Der Sinus sin(z) einer komplexen Zahl z = x + yi wird durch reelle und hyperbolische Funktionen berechnet. Er ist eine periodische Funktion mit Periode 2π und kann beliebig große Werte annehmen (nicht beschränkt auf [-1, 1]).

Winkel z = x + yi (Bogenmaß)
+
i
Berechnungsergebnis
sin(z) =
Für rein reelle Zahlen: |sin(x)| ≤ 1, für komplexe Zahlen kann |sin(z)| > 1 sein!

Sinus - Eigenschaften

Formel für komplexe Zahlen
\[\sin(z) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y)\]

Mit z = x + yi

Euler-Formel
\[\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\]
Periode 2π
Ungerade Funktion sin(-z) = -sin(z)
Wichtige Eigenschaften
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Ungerade Funktion: sin(-z) = -sin(z)
  • \(\sin^2(z) + \cos^2(z) = 1\) (Pythagoras)
  • Nicht beschränkt für komplexe z
Beziehungen
  • \(\sin(z) = \cos(z - \pi/2)\)
  • \(\sin(2z) = 2\sin(z)\cos(z)\)
  • \(\sin(z \pm w) = \sin z \cos w \pm \cos z \sin w\)
  • \(\sinh(iz) = i\sin(z)\)

Formeln zum Sinus komplexer Zahlen

Der Sinus sin(z) einer komplexen Zahl z = x + yi wird durch eine Kombination aus trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen berechnet.

Kartesische Form
\[\sin(x + yi) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y)\]

Realteil: \(\sin(x)\cosh(y)\)
Imaginärteil: \(\cos(x)\sinh(y)\)

Euler-Formel
\[\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\]

Exponentialdarstellung

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: sin(3 + 5i)
Schritt 1: Formel anwenden

z = 3 + 5i

x = 3 (Realteil)

y = 5 (Imaginärteil)

Schritt 2: Realteil berechnen

\(\text{Re} = \sin(3) \cdot \cosh(5)\)

\(= (0.14112) \cdot (74.20995)\)

\(\approx 10.473\)

Schritt 3: Imaginärteil berechnen

\(\text{Im} = \cos(3) \cdot \sinh(5)\)

\(= (-0.98999) \cdot (74.20321)\)

\(\approx -73.461\)

Schritt 4: Ergebnis

\(\sin(3 + 5i) = \text{Re} + i\text{Im}\)

\(\approx 10.473 - 73.461i\)

Beobachtung

Der Betrag \(|\sin(3 + 5i)| \approx 74.20\) ist viel größer als 1! Dies ist typisch für komplexe Argumente mit großem Imaginärteil, da cosh(y) und sinh(y) exponentiell wachsen.

Weitere Beispiele

Beispiel 1: sin(0)

z = 0

\(\sin(0) = \sin(0)\cosh(0)\)

\(= 0 \cdot 1 = 0\)

Beispiel 2: sin(π/2)

z = π/2 ≈ 1.5708

\(\sin(\pi/2) = \sin(\pi/2)\cosh(0)\)

\(= 1 \cdot 1 = 1\)

Beispiel 3: sin(i)

z = i (rein imaginär)

\(\sin(i) = i\sinh(1)\)

\(\approx 1.175i\)

Beispiel 4: sin(π)

z = π ≈ 3.1416

\(\sin(\pi) = \sin(\pi)\cosh(0)\)

\(\approx 0\)

Beispiel 5: sin(1 + i)

z = 1 + i

\(\text{Re} = \sin(1)\cosh(1) \approx 1.298\)
\(\text{Im} = \cos(1)\sinh(1) \approx 0.635\)

\(\approx 1.298 + 0.635i\)

Beispiel 6: sin(2i)

z = 2i (rein imaginär)

\(\sin(2i) = i\sinh(2)\)

\(\approx 3.627i\)

Sinus - Detaillierte Beschreibung

Definition

Der Sinus ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Für reelle Zahlen:
Im rechtwinkligen Dreieck:
\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\]

Wertebereich: [-1, 1]
Periode: 2π

Für komplexe Zahlen

Berechnung mit z = x + yi:

\[\sin(z) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y)\]

• Realteil: \(\sin(x)\cosh(y)\)
• Imaginärteil: \(\cos(x)\sinh(y)\)
• Nicht beschränkt! Kann beliebig groß werden

Wichtige Eigenschaften

  • Periodizität: \(\sin(z + 2\pi) = \sin(z)\)
  • Ungerade Funktion: \(\sin(-z) = -\sin(z)\)
  • Pythagoras: \(\sin^2(z) + \cos^2(z) = 1\)
  • Ableitung: \(\frac{d}{dz}\sin(z) = \cos(z)\)

Additionstheoreme

Summenformel:
\[\sin(z \pm w) = \sin z \cos w \pm \cos z \sin w\]
Doppelwinkel:
\[\sin(2z) = 2\sin(z)\cos(z)\]

Beziehung zu anderen Funktionen

• \(\sin(z) = \cos(z - \pi/2)\) (Phasenverschiebung)
• \(\sinh(iz) = i\sin(z)\) (hyperbolisch ↔ trigonometrisch)
• \(\sin(iz) = i\sinh(z)\) (Umkehrung)
• \(e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)\) (Euler-Formel)

Anwendungen

Physik
  • Schwingungen und Wellen
  • Wechselstrom
  • Harmonische Oszillatoren
  • Akustik
Geometrie
  • Winkelberechnung
  • Kreisfunktionen
  • Projektionen
  • Rotationen
Signalverarbeitung
  • Fourier-Transformation
  • Frequenzanalyse
  • Wellenformen
  • Filterung
Wichtiger Unterschied: Reell vs. Komplex
Reelle Argumente (x ∈ ℝ):
  • Beschränkt: -1 ≤ sin(x) ≤ 1
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Ungerade Funktion
Komplexe Argumente (z ∈ ℂ):
  • Nicht beschränkt! |sin(z)| kann beliebig groß werden
  • Periodisch mit Periode 2π
  • Ungerade Funktion

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye