ATan2 - Arkustangens (y, x)
Rechner zur Berechnung des Winkels in allen vier Quadranten
ATan2 Funktion Rechner
Anleitung
Geben Sie die kartesischen Koordinaten (y, x) ein. Die Funktion berechnet den Polarwinkel φ im korrekten Quadranten mit einem Wertebereich von -180° bis +180° bzw. -π bis +π.
Visualisierung
Winkel φ = 45°
ATan2 - Übersicht
Besonderheit
Im Gegensatz zum normalen Arkustangens erwartet ATan2 zwei Argumente (y, x) und kann das Resultat in einem Wertebereich von 360° ausgeben, also in allen vier Quadranten.
Definition
Die ATan2-Funktion berechnet den Polarwinkel φ aus kartesischen Koordinaten und berücksichtigt dabei die Vorzeichen von y und x, um den korrekten Quadranten zu bestimmen.
\(\displaystyle \varphi = \text{atan2}(y, x) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \)
mit Wertebereich: \( \varphi \in [-\pi, \pi] \) oder [-180°, 180°]
Quadranten-Zuordnung
| I. Quadrant: | x > 0, y > 0 | 0° bis 90° |
| II. Quadrant: | x < 0, y > 0 | 90° bis 180° |
| III. Quadrant: | x < 0, y < 0 | -180° bis -90° |
| IV. Quadrant: | x > 0, y < 0 | -90° bis 0° |
Vorteile gegenüber ATan
- Alle Quadranten: Vollständiger 360°-Bereich
- Vorzeichenbeachtung: Berücksichtigt y und x separat
- Keine Division durch Null: Sichere Berechnung bei x = 0
- Eindeutige Zuordnung: Jeder Punkt hat einen eindeutigen Winkel
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Beschreibung zur ATan2 Funktion
Grundlagen
Die ATan2-Funktion ist eine erweiterte Form des Arkustangens, die zwei kartesische Koordinaten (y, x) als Argumente erhält und den Polarwinkel φ im richtigen Quadranten zurückgibt.
Formel:
\(\displaystyle \varphi = \text{atan2}(y, x) \)
entspricht
\(\displaystyle \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \text{ mit Quadrantenkorrektur} \)
Kartesische zu Polaren Koordinaten
Wenn der Funktion atan2(y, x) die beiden kartesischen Koordinaten übergeben werden, erhält man den Polarwinkel φ, der sich im richtigen Quadranten befindet:
\(\displaystyle (x, y) \rightarrow (r, \varphi) \)
\(\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \text{atan2}(y, x) \)
Quadrantenbestimmung
Die Funktion berücksichtigt die Vorzeichen beider Koordinaten, um den korrekten Quadranten zu bestimmen:
x > 0: Quadrant I oder IV
x < 0: Quadrant II oder III
y > 0: Quadrant I oder II
y < 0: Quadrant III oder IV
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: I. Quadrant
Gegeben: y = 3, x = 4
Berechnung:
\(\displaystyle \varphi = \text{atan2}(3, 4) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \)
\(\displaystyle \varphi \approx 36.87° \)
Beispiel 2: II. Quadrant
Gegeben: y = 3, x = -4
Berechnung:
\(\displaystyle \varphi = \text{atan2}(3, -4) \)
\(\displaystyle = 180° - \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 143.13° \)
Hinweis: ATan würde hier einen falschen Quadranten liefern!
Beispiel 3: Spezialfälle
- \( \text{atan2}(0, 1) = 0° \) (positive x-Achse)
- \( \text{atan2}(1, 0) = 90° \) (positive y-Achse)
- \( \text{atan2}(0, -1) = 180° \) (negative x-Achse)
- \( \text{atan2}(-1, 0) = -90° \) (negative y-Achse)
Vergleich ATan vs ATan2
ATan(y/x): Wertebereich -90° bis +90° (nur 2 Quadranten)
ATan2(y, x): Wertebereich -180° bis +180° (alle 4 Quadranten)
Eigenschaften
- Definitionsbereich: \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \)
- Wertebereich: \( \varphi \in [-\pi, \pi] \) oder [-180°, 180°]
- Quadranten: Alle vier Quadranten werden korrekt abgedeckt
- Stetigkeit: Stetig außer auf der negativen x-Achse
- Symmetrie: atan2(-y, -x) = atan2(y, x) ± π
- Sonderfälle:
- atan2(0, 0) ist undefiniert
- atan2(y, 0) = ±90° für y ≠ 0
Praktische Anwendungen
- Robotik: Gelenkwinkelberechnung und inverse Kinematik
- Computergrafik: 2D-Rotationen und Sprite-Ausrichtung
- Navigation: Peilungswinkel und Kursberechnungen
- Spieleprogrammierung: Objektausrichtung zu Zielpunkten
- Signalverarbeitung: Phasenwinkelbestimmung
- Radar/Sonar: Zielrichtungsbestimmung
- CAD/CAM: Winkelberechnungen in allen Quadranten
Wichtiger Hinweis
Die ATan2-Funktion ist unverzichtbar, wenn der korrekte Quadrant wichtig ist. Im Gegensatz zur einfachen ATan-Funktion, die nur den Bereich von -90° bis +90° abdeckt, liefert ATan2 Werte im vollen Bereich von -180° bis +180°. Dies ist besonders wichtig in der Robotik, Navigation und Computergrafik, wo die exakte Richtung eines Vektors bestimmt werden muss. Die Funktion vermeidet auch Division durch Null, da x und y separat übergeben werden.