Csc - Kosekans berechnen
Online Rechner zur Berechnung des Kosekans eines Winkels
Kosekans Rechner
Anleitung
Geben Sie den Winkel ein (≠ 0°), dessen Kosekans berechnet werden soll, wählen Sie die Maßeinheit (Grad oder Radiant) und klicken Sie auf Rechnen.
Kosekans - Übersicht
Wichtiger Hinweis
Der Kosekans ist bei 0°, 180°, 360° etc. nicht definiert (Division durch Null). Der Wertebereich ist |csc(α)| ≥ 1, d.h. csc(α) ≤ -1 oder csc(α) ≥ 1.
Definition im Dreieck
Der Kosekans ist der Kehrwert des Sinus und entspricht dem Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete.
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{c}{a} \)
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} \)
Wichtige Werte
- \( \csc(30°) = 2 \)
- \( \csc(45°) = \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( \csc(60°) = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \)
- \( \csc(90°) = 1 \)
- \( \csc(0°) = \text{undefiniert} \) (∞)
Beschreibung zum Kosekans
Grundlagen
Der Kosekans (auch Cosekans) ist eine trigonometrische Funktion und der Kehrwert des Sinus. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosekans eines Winkels α das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete.
Definitionen:
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{c}{a} \)
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} \)
\(\displaystyle \sin(\alpha) = \frac{1}{\csc(\alpha)} \)
Eigenschaften
Die Kosekansfunktion hat mehrere wichtige Eigenschaften:
- Periodisch: csc(α + 360°) = csc(α)
- Ungerade Funktion: csc(-α) = -csc(α)
- Wertebereich: |csc(α)| ≥ 1 (csc(α) ≤ -1 oder csc(α) ≥ 1)
- Polstellen: Bei 0°, 180°, 360°, ... (nicht definiert)
- Extremwerte: ±1 bei α = 90° + n·180°
Beziehung zu anderen Funktionen
Der Kosekans steht in enger Beziehung zu anderen trigonometrischen Funktionen:
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} \)
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \sec(90° - \alpha) \)
\(\displaystyle 1 + \cot^2(\alpha) = \csc^2(\alpha) \)
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: Kosekans berechnen
Gegeben:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Hypotenuse: \( c = 10 \text{ cm} \)
- Gegenkathete (zu α): \( a = 6 \text{ cm} \)
Berechnung:
\(\displaystyle \csc(\alpha) = \frac{10}{6} \approx 1.667 \)
Um den Winkel zu finden: \( \alpha = \arcsin\left(\frac{6}{10}\right) \approx 36.87° \)
Beispiel 2: Bekannte Winkel
Wichtige Kosekanswerte:
| \( \csc(30°) \) | = | 2 |
| \( \csc(45°) \) | = | \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) |
| \( \csc(60°) \) | = | \( \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \) |
| \( \csc(90°) \) | = | 1 |
| \( \csc(0°) \) | = | ∞ (undefiniert) |
| \( \csc(180°) \) | = | ∞ (undefiniert) |
Beispiel 3: Berechnung über Sinus
Aufgabe:
Berechnen Sie csc(30°) über den Sinus.
Lösung:
\(\displaystyle \sin(30°) = 0.5 \)
\(\displaystyle \csc(30°) = \frac{1}{\sin(30°)} = \frac{1}{0.5} = 2 \)
Umrechnung
Von Grad zu Radiant:
\(\displaystyle \text{Radiant} = \frac{\text{Grad} \cdot \pi}{180°} \)
Mathematische Eigenschaften
- Periode: 360° bzw. 2π (Radiant)
- Symmetrie: Ungerade Funktion: csc(-α) = -csc(α)
- Wertebereich: csc(α) ≤ -1 oder csc(α) ≥ 1
- Polstellen: Bei n·180° (n ganzzahlig)
- Extremwerte:
- Minimum: 1 bei α = 90°
- Maximum: -1 bei α = 270° (oder -90°)
- Grenzwerte:
- \( \lim_{\alpha \to 0^+} \csc(\alpha) = +\infty \)
- \( \lim_{\alpha \to 0^-} \csc(\alpha) = -\infty \)
- Identität: \( 1 + \cot^2(\alpha) = \csc^2(\alpha) \)
Praktische Anwendungen
- Geometrie: Berechnungen in speziellen Dreiecken
- Trigonometrie: Lösung trigonometrischer Gleichungen
- Physik: Wellenanalyse und Schwingungen
- Optik: Brechungswinkel und Lichtberechnung
- Navigation: Astronomische Berechnungen
- Elektrotechnik: Wechselstromanalyse
- Signalverarbeitung: Fourier-Analyse
Wichtiger Hinweis
Der Kosekans ist der Kehrwert des Sinus und daher bei allen Winkeln nicht definiert, bei denen der Sinus Null ist (0°, 180°, 360° usw.). An diesen Stellen hat die Funktion Polstellen und strebt gegen ±∞. Der Wertebereich des Kosekans ist beschränkt auf |csc(α)| ≥ 1, d.h. die Funktion nimmt niemals Werte zwischen -1 und 1 an. Dies ist eine direkte Konsequenz daraus, dass der Sinus maximal den Wert 1 bzw. minimal -1 annehmen kann. Der Kosekans hat eine Periode von 360° (bzw. 2π im Bogenmaß) und ist eine ungerade Funktion, d.h. csc(-α) = -csc(α).