Grad in Radiant berechnen
Onlinerechner und Formel zur Umrechnung von Grad in Radiant
Grad in Radiant Rechner
Anleitung
Geben Sie den Winkel in Grad ein und klicken Sie auf Rechnen. Der Rechner konvertiert den Wert automatisch in Radiant (Bogenmaß).
Umrechnung - Übersicht
Was sind Grad und Radiant?
Grad (°) und Radiant (rad) sind zwei unterschiedliche Maßeinheiten zur Angabe von Winkeln.
- Vollkreis in Grad: 360°
- Vollkreis in Radiant: 2π ≈ 6.283 rad
Umrechnungsformel
Die Formel zur Umrechnung von Grad in Radiant:
\(\displaystyle \text{rad} = \frac{\text{deg} \cdot \pi}{180°} \)
wobei π (Pi) ≈ 3.14159265359
Wichtige Winkelwerte
| Grad | Radiant |
|---|---|
| 0° | 0 rad |
| 30° | π/6 ≈ 0.524 rad |
| 45° | π/4 ≈ 0.785 rad |
| 60° | π/3 ≈ 1.047 rad |
| 90° | π/2 ≈ 1.571 rad |
| 180° | π ≈ 3.142 rad |
| 360° | 2π ≈ 6.283 rad |
Rückrechnung
Umrechnung von Radiant in Grad:
\(\displaystyle \text{deg} = \frac{\text{rad} \cdot 180°}{\pi} \)
Beschreibung zur Umrechnung von Grad in Radiant
Grundlagen
Grad und Radiant (auch Bogenmaß genannt) sind zwei verschiedene Maßeinheiten zur Messung von Winkeln. Während Grad die gebräuchlichste Einheit im Alltag ist, wird Radiant häufig in der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften verwendet.
Definition Radiant:
Ein Radiant ist der Winkel, bei dem die Länge des Kreisbogens gleich dem Radius des Kreises ist.
\(\displaystyle 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.2958° \)
Herleitung der Formel
Ein Vollkreis hat 360° oder 2π Radiant. Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung:
\(\displaystyle 360° = 2\pi \text{ rad} \)
\(\displaystyle 180° = \pi \text{ rad} \)
\(\displaystyle 1° = \frac{\pi}{180°} \text{ rad} \)
Durch Multiplikation mit der Gradzahl erhält man die Umrechnungsformel:
\(\displaystyle \text{rad} = \text{deg} \cdot \frac{\pi}{180°} \)
Detaillierte Beispiele
Beispiel 1: 90° in Radiant
Gegeben:
Winkel = 90°
Berechnung:
\(\displaystyle \text{rad} = \frac{90° \cdot \pi}{180°} = \frac{\pi}{2} \approx 1.571 \text{ rad} \)
Resultat: 90° entspricht π/2 rad oder etwa 1.571 rad
Beispiel 2: 45° in Radiant
Gegeben:
Winkel = 45°
Berechnung:
\(\displaystyle \text{rad} = \frac{45° \cdot \pi}{180°} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \text{ rad} \)
Resultat: 45° entspricht π/4 rad oder etwa 0.785 rad
Beispiel 3: 360° in Radiant
Gegeben:
Winkel = 360° (Vollkreis)
Berechnung:
\(\displaystyle \text{rad} = \frac{360° \cdot \pi}{180°} = 2\pi \approx 6.283 \text{ rad} \)
Resultat: 360° entspricht 2π rad oder etwa 6.283 rad
Beispiel 4: 30° in Radiant
Gegeben:
Winkel = 30°
Berechnung:
\(\displaystyle \text{rad} = \frac{30° \cdot \pi}{180°} = \frac{\pi}{6} \approx 0.524 \text{ rad} \)
Resultat: 30° entspricht π/6 rad oder etwa 0.524 rad
Vorteile von Radiant
- Mathematische Einfachheit: Viele Formeln werden einfacher
- Natürliche Einheit: Direkte Beziehung zum Kreisumfang
- Ableitungen: Einfachere Differentialrechnung bei trigonometrischen Funktionen
- Dimensionslos: Radiant ist ein Verhältnis zweier Längen
- Wissenschaftlicher Standard: Bevorzugte Einheit in Physik und höherer Mathematik
Praktische Anwendungen
- Mathematik: Analysis, Trigonometrie, Differentialgleichungen
- Physik: Kreisbewegung, Schwingungen, Wellen
- Ingenieurwesen: Mechanik, Elektrotechnik, Regelungstechnik
- Computergrafik: Rotationen, Animationen, 3D-Transformationen
- Navigation: Kursberechnungen, GPS-Systeme
- Astronomie: Planetenbahnen, Winkelberechnungen
- Programmierung: Mathematische Bibliotheken verwenden Radiant
Erweiterte Umrechnungstabelle
| Grad (°) | Radiant (exakt) | Radiant (dezimal) | Winkeltyp |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | Nullwinkel |
| 30° | π/6 | ≈ 0.524 | Spitzer Winkel |
| 45° | π/4 | ≈ 0.785 | Spitzer Winkel |
| 60° | π/3 | ≈ 1.047 | Spitzer Winkel |
| 90° | π/2 | ≈ 1.571 | Rechter Winkel |
| 120° | 2π/3 | ≈ 2.094 | Stumpfer Winkel |
| 135° | 3π/4 | ≈ 2.356 | Stumpfer Winkel |
| 180° | π | ≈ 3.142 | Gestreckter Winkel |
| 270° | 3π/2 | ≈ 4.712 | Überstumpfer Winkel |
| 360° | 2π | ≈ 6.283 | Vollwinkel |
Wichtiger Hinweis
Taschenrechner-Einstellungen: Achten Sie bei der Verwendung von Taschenrechnern oder Softwareprogrammen darauf, ob diese im Grad-Modus (DEG) oder Radiant-Modus (RAD) arbeiten. Falsche Einstellungen führen zu falschen Ergebnissen!
Programmierung: Die meisten Programmiersprachen (C, C++, Java, Python, etc.) erwarten Winkel in Radiant, nicht in Grad. Eine Umrechnung ist daher oft notwendig.
Zusammenhang mit Kreisbogen
Bogenlänge berechnen:
\(\displaystyle s = r \cdot \alpha \)
wobei s die Bogenlänge, r der Radius und α der Winkel in Radiant ist
Kreissektor-Fläche:
\(\displaystyle A = \frac{1}{2} r^2 \cdot \alpha \)
wobei A die Fläche des Kreissektors ist