ASec - Arkussekans (inverse Sekante)
Online Rechner zur Berechnung des Winkels zur Sekante
Arkussekans Rechner
Anleitung
Geben Sie den Wert der Sekante ein (|x| ≥ 1), wählen Sie die Maßeinheit (Grad oder Radiant) und klicken Sie auf Rechnen.
Arkussekans - Übersicht
Wertebereich Eingabe
Der Wert des Arguments muss |x| ≥ 1 sein, d.h. x ≤ -1 oder x ≥ 1. Das Resultat wird in Grad (0° bis 180°, ohne 90°) oder Radiant (0 bis π, ohne π/2) angegeben.
Inverse Sekante, Skala in Radiant
Definition
Der Arkussekans (arcsec, asec oder sec⁻¹) ist die Umkehrfunktion der Sekans-Funktion. Sie berechnet den Winkel für einen gegebenen Sekanswert.
\(\displaystyle y = \text{arcsec}(x) \Leftrightarrow \sec(y) = x \)
mit \( |x| \geq 1 \) und \( y \in [0, \pi] \), \( y \neq \frac{\pi}{2} \)
Beziehung zum Kosinus
Die Sekante ist der Kehrwert des Kosinus:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
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Beschreibung zum Arkussekans
Grundlagen
Die inverse Sekansfunktion, bezeichnet als arcsec, asec oder sec⁻¹, ist die Umkehrfunktion der Sekans-Funktion. Sie wird verwendet, um den Winkel zu einem gegebenen Sekanswert zu berechnen.
Mathematische Definition:
\(\displaystyle y = \text{arcsec}(x) \)
bedeutet
\(\displaystyle \sec(y) = x \)
Sekans im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Sekante eines Winkels α das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{c}{b} \)
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
Beziehung zum Kosinus
Die Sekante ist der Kehrwert des Kosinus:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{\sec(\alpha)} \)
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: Sekanswert berechnen
Gegeben:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Hypotenuse: \( c = 10 \)
- Ankathete: \( b = 8 \)
Berechnung der Sekante:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{10}{8} = 1.25 \)
Beispiel 2: Winkel berechnen
Aufgabe:
Berechnen Sie den Winkel α für \( \sec(\alpha) = 1.25 \)
In Radiant:
\(\displaystyle \alpha = \text{arcsec}(1.25) \approx 0.6435 \text{ rad} \)
Umrechnung in Grad:
\(\displaystyle \alpha = \frac{0.6435 \cdot 180°}{\pi} \approx 36.87° \)
Beispiel 3: Mit Kosinus
Alternative Berechnung:
Da \( \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \):
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{1.25} = 0.8 \)
\(\displaystyle \alpha = \arccos(0.8) \approx 36.87° \)
Formel zur Umrechnung
Von Bogenmaß in Grad:
\(\displaystyle \text{Grad} = \frac{\text{Radiant} \cdot 180°}{\pi} \)
Eigenschaften
- Definitionsbereich: \( |x| \geq 1 \) (x ≤ -1 oder x ≥ 1)
- Wertebereich: \( y \in [0, \pi] \), \( y \neq \frac{\pi}{2} \) oder [0°, 180°] ohne 90°
- Monotonie:
- Streng monoton wachsend für x ≥ 1
- Streng monoton fallend für x ≤ -1
- Spezielle Werte:
- \( \text{arcsec}(1) = 0° \)
- \( \text{arcsec}(-1) = 180° \)
- \( \text{arcsec}(2) = 60° \)
- \( \text{arcsec}(\sqrt{2}) \approx 45° \)
Praktische Anwendungen
- Geometrie: Winkelberechnungen in Dreiecken
- Navigation: Kursberechnungen und Peilungen
- Astronomie: Berechnung von Himmelswinkeln
- Geodäsie: Vermessungstechnik
- Physik: Optik und Brechungswinkel
- Ingenieurwesen: Konstruktionsberechnungen
Wichtige Formeln
Kosinus und Sekans:
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} \)
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{c}{b} \)
Kehrwertbeziehung:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{\sec(\alpha)} \)
Beziehung zum Arkuskosinus:
\(\displaystyle \text{arcsec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) \quad \text{für } |x| \geq 1 \)
Wichtiger Hinweis
Beachten Sie, dass die Sekante nur für Werte |x| ≥ 1 definiert ist, da der Kosinus im Bereich [-1, 1] liegt. Der Arkussekans kann nicht für Werte zwischen -1 und 1 berechnet werden. Der Wertebereich des Arkussekans schließt den Wert 90° bzw. π/2 rad aus, da die Sekante bei diesem Winkel nicht definiert ist (cos(90°) = 0, Division durch Null).