Inverser hyperbolischer Kosinus

Berechnung des Winkels zum hyperbolischen Kosinus

ACosh Rechner

Inverse hyperbolische Funktion

Die ACosh(x) oder inverse hyperbolische Kosinus zeigt monoton steigendes Verhalten für x ≥ 1.

Eingabewert muss größer oder gleich 1 sein
Resultat
Winkel:

ACosh Funktionskurve

Kurve der ACosh Funktion

Die ACosh-Funktion startet bei (1,0) und steigt monoton an.
Definitionsbereich: x ≥ 1, Wertebereich: y ≥ 0

Definitionsbereich der ACosh-Funktion

Die inverse hyperbolische Kosinus-Funktion hat einen eingeschränkten Definitionsbereich:

  • Definitionsbereich: x ≥ 1
  • Wertebereich: y ≥ 0
  • Verhalten bei x = 1: ACosh(1) = 0
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Asymptotik: ACosh(x) ~ ln(2x) für große x
  • Ungültige Eingabe: x < 1 → NaN

Logarithmische Darstellung der ACosh-Funktion

Die inverse hyperbolische Kosinus-Funktion lässt sich durch Logarithmus ausdrücken:

Grundformel
\[\text{ACosh}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})\]

Direkte logarithmische Darstellung

Umkehrrelation
\[\cosh(\text{ACosh}(x)) = x\]

Für x ≥ 1

Formeln zur ACosh-Funktion

Definition
\[\text{ACosh}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})\]

Fundamentale logarithmische Darstellung für x ≥ 1

Umkehrrelation
\[\cosh(\text{ACosh}(x)) = x \quad \text{für } x ≥ 1\]

Inverse Beziehung zum hyperbolischen Kosinus

Ableitung
\[\frac{d}{dx} \text{ACosh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\]

Erste Ableitung für x > 1

Reihenentwicklung
\[\text{ACosh}(1+x) = \sqrt{2x} \left[1 - \frac{x}{12} + \frac{3x^2}{160} - \frac{5x^3}{896} + \ldots\right]\]

Für kleine x (um x = 1)

Asymptotisches Verhalten
\[\text{ACosh}(x) \sim \ln(2x) \quad \text{für große } x\]

Näherung für sehr große Argumente

Spezielle Werte

Wichtige Werte
ACosh(1) = 0 ACosh(2) ≈ 1.317 ACosh(e) ≈ 1.658
Grenzwerte
\[\lim_{x \to 1^+} \text{ACosh}(x) = 0\] \[\lim_{x \to \infty} \text{ACosh}(x) = \infty\]

Verhalten an den Definitionsbereichsgrenzen

Eigenschaften
  • Streng monoton steigend
  • Konkav (nach unten gekrümmt)
  • Unbeschränkt wachsend
  • Stetig für x ≥ 1
Anwendungen

Relativitätstheorie, Kettenlinien-Probleme, hyperbolische Geometrie, Integraltransformationen.

Ausführliche Beschreibung der ACosh-Funktion

Definition und Eingabe

Die inverse hyperbolische Kosinus-Funktion ACosh(x) ist die Umkehrfunktion des hyperbolischen Kosinus. Sie berechnet den Winkel, dessen hyperbolischer Kosinus dem gegebenen Wert entspricht.

Wichtiger Hinweis: Das Argument muss x ≥ 1 sein!
Eingabebeschränkung

Bei einem Wert unter 1 liefert die Funktion das Resultat NaN (keine gültige Nummer), da der hyperbolische Kosinus nur Werte ≥ 1 annimmt.

Verwendung des Rechners

Geben Sie den Wert des hyperbolischen Kosinus ein (≥ 1). Wählen Sie die gewünschte Maßeinheit (Grad oder Radiant) und die Anzahl der Dezimalstellen.

Resultat

Das Resultat wird in Grad (Vollkreis = 360°) oder Radiant (Vollkreis = 2π) angegeben. Die verwendete Maßeinheit wird mit dem entsprechenden Menü eingestellt.

Mathematische Eigenschaften

Funktionseigenschaften
  • Definitionsbereich: [1, ∞)
  • Wertebereich: [0, ∞)
  • Monotonie: Streng monoton steigend
  • Krümmung: Konkav (nach unten gekrümmt)
Logarithmische Natur
  • Wächst wie ln(2x) für große x
  • Nullstelle bei x = 1
  • Ableitungsingularität bei x = 1
  • Glatte Funktion für x > 1
Anwendungen
  • Relativitätstheorie: Rapidität-Transformationen
  • Kettenlinie: Umkehrung der cosh-Kurve
  • Hyperbolische Geometrie: Abstandsmessungen
  • Integralrechnung: Substitution bei Wurzelausdrücken
Praktische Hinweise
  • ACosh(1) = 0: Startpunkt der Funktion
  • Für x nahe 1: Verwenden Sie √(2(x-1)) als Näherung
  • Für große x: Verwenden Sie ln(2x) als Näherung
  • Die Ableitung divergiert bei x = 1

Berechnungsbeispiele

Grundwerte

ACosh(1) = 0

ACosh(2) ≈ 1.317

ACosh(e) ≈ 1.658

Mittlere Werte

ACosh(5) ≈ 2.292

ACosh(10) ≈ 2.993

ACosh(100) ≈ 5.298

Asymptotik

ACosh(1000) ≈ 7.601

ln(2000) ≈ 7.601

Näherung wird sehr gut


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