Sec - Sekans berechnen
Online Rechner zur Berechnung des Sekans eines Winkels
Sekans Rechner
Anleitung
Geben Sie den Winkel ein (≠ 90°), dessen Sekans berechnet werden soll, wählen Sie die Maßeinheit (Grad oder Radiant) und klicken Sie auf Rechnen.
Sekans - Übersicht
Wichtiger Hinweis
Der Sekans ist bei 90°, 270° etc. nicht definiert (Division durch Null). Der Wertebereich ist |sec(α)| ≥ 1, d.h. sec(α) ≤ -1 oder sec(α) ≥ 1.
Sekans, Skala in Radiant
Definition im Dreieck
Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus und entspricht dem Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete.
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{c}{b} \)
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
Wichtige Werte
- \( \sec(0°) = 1 \)
- \( \sec(60°) = 2 \)
- \( \sec(45°) = \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( \sec(30°) = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \)
- \( \sec(90°) = \text{undefiniert} \) (∞)
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Beschreibung zum Sekans
Grundlagen
Der Sekans ist eine trigonometrische Funktion und der Kehrwert des Kosinus. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans eines Winkels α das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete.
Definitionen:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} = \frac{c}{b} \)
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{1}{\sec(\alpha)} \)
Eigenschaften
Die Sekansfunktion hat mehrere wichtige Eigenschaften:
- Periodisch: sec(α + 360°) = sec(α)
- Gerade Funktion: sec(-α) = sec(α)
- Wertebereich: |sec(α)| ≥ 1 (sec(α) ≤ -1 oder sec(α) ≥ 1)
- Polstellen: Bei 90° + n·180° (n ganzzahlig)
- Extremwerte: ±1 bei α = n·180°
Beziehung zu anderen Funktionen
Der Sekans steht in enger Beziehung zu anderen trigonometrischen Funktionen:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \)
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \csc(90° - \alpha) \)
\(\displaystyle 1 + \tan^2(\alpha) = \sec^2(\alpha) \)
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: Sekans berechnen
Gegeben:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Hypotenuse: \( c = 10 \text{ cm} \)
- Ankathete (zu α): \( b = 8 \text{ cm} \)
Berechnung:
\(\displaystyle \sec(\alpha) = \frac{10}{8} = 1.25 \)
Um den Winkel zu finden: \( \alpha = \arccos\left(\frac{8}{10}\right) \approx 36.87° \)
Beispiel 2: Bekannte Winkel
Wichtige Sekanswerte:
| \( \sec(0°) \) | = | 1 |
| \( \sec(30°) \) | = | \( \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \) |
| \( \sec(45°) \) | = | \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) |
| \( \sec(60°) \) | = | 2 |
| \( \sec(90°) \) | = | ∞ (undefiniert) |
| \( \sec(180°) \) | = | -1 |
Beispiel 3: Berechnung über Kosinus
Aufgabe:
Berechnen Sie sec(60°) über den Kosinus.
Lösung:
\(\displaystyle \cos(60°) = 0.5 \)
\(\displaystyle \sec(60°) = \frac{1}{\cos(60°)} = \frac{1}{0.5} = 2 \)
Umrechnung
Von Grad zu Radiant:
\(\displaystyle \text{Radiant} = \frac{\text{Grad} \cdot \pi}{180°} \)
Mathematische Eigenschaften
- Periode: 360° bzw. 2π (Radiant)
- Symmetrie: Gerade Funktion: sec(-α) = sec(α)
- Wertebereich: sec(α) ≤ -1 oder sec(α) ≥ 1
- Polstellen: Bei 90° + n·180° (n ganzzahlig)
- Extremwerte:
- Minimum: 1 bei α = 0°, 360°, ...
- Maximum: -1 bei α = 180°, 540°, ...
- Grenzwerte:
- \( \lim_{\alpha \to 90^+} \sec(\alpha) = -\infty \)
- \( \lim_{\alpha \to 90^-} \sec(\alpha) = +\infty \)
- Identität: \( 1 + \tan^2(\alpha) = \sec^2(\alpha) \)
Praktische Anwendungen
- Navigation: Kursberechnungen und Peilungen
- Astronomie: Berechnung von Himmelswinkeln
- Geodäsie: Vermessungstechnik
- Optik: Brechungswinkel und Linsenberechnungen
- Physik: Wellenanalyse
- Elektrotechnik: Impedanzberechnungen
- Ingenieurwesen: Konstruktionsberechnungen
Wichtiger Hinweis
Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus und daher bei allen Winkeln nicht definiert, bei denen der Kosinus Null ist (90°, 270° usw.). An diesen Stellen hat die Funktion Polstellen und strebt gegen ±∞. Der Wertebereich des Sekans ist beschränkt auf |sec(α)| ≥ 1, d.h. die Funktion nimmt niemals Werte zwischen -1 und 1 an. Dies ist eine direkte Konsequenz daraus, dass der Kosinus maximal den Wert 1 bzw. minimal -1 annehmen kann. Der Sekans hat eine Periode von 360° (bzw. 2π im Bogenmaß) und ist eine gerade Funktion, d.h. sec(-α) = sec(α), was ihn symmetrisch zur y-Achse macht.