Cos - Kosinus berechnen
Online Rechner zur Berechnung des Kosinus eines Winkels
Kosinus Rechner
Anleitung
Geben Sie den Winkel ein, dessen Kosinus berechnet werden soll, wählen Sie die Maßeinheit (Grad oder Radiant) und klicken Sie auf Rechnen.
Kosinus - Übersicht
Wertebereich
Der Winkel wird in Grad (Vollkreis = 360°) oder Radiant (Vollkreis = 2·π) angegeben. Das Resultat liegt immer im Bereich von -1 bis +1.
Kosinus, Skala in Radiant
Definition im Dreieck
Der Kosinus eines Winkels α entspricht dem Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} \)
Wichtige Werte
- \( \cos(0°) = 1 \)
- \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
- \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
- \( \cos(60°) = 0.5 \)
- \( \cos(90°) = 0 \)
- \( \cos(180°) = -1 \)
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Beschreibung zum Kosinus
Grundlagen
Der Kosinus ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels α das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
Definition:
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \)
Eigenschaften
Die Kosinusfunktion hat mehrere wichtige Eigenschaften:
- Periodisch: cos(α + 360°) = cos(α)
- Gerade Funktion: cos(-α) = cos(α)
- Wertebereich: -1 ≤ cos(α) ≤ 1
- Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
Beziehung zum Sinus
Kosinus und Sinus sind eng miteinander verbunden:
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha) \)
\(\displaystyle \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: Kosinus berechnen
Gegeben:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Ankathete (zu α): \( b = 8 \text{ cm} \)
- Hypotenuse: \( c = 10 \text{ cm} \)
Berechnung:
\(\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{8}{10} = 0.8 \)
Um den Winkel zu finden: \( \alpha = \arccos(0.8) \approx 36.87° \)
Beispiel 2: Bekannte Winkel
Wichtige Kosinuswerte:
| \( \cos(0°) \) | = | 1 |
| \( \cos(30°) \) | = | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \) |
| \( \cos(45°) \) | = | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \) |
| \( \cos(60°) \) | = | 0.5 |
| \( \cos(90°) \) | = | 0 |
| \( \cos(180°) \) | = | -1 |
Beispiel 3: Praktische Anwendung
Aufgabe:
Eine Leiter lehnt in einem Winkel von 60° an einer Wand. Die Leiter ist 5 m lang. Wie weit ist der Fuß der Leiter von der Wand entfernt?
Lösung:
\(\displaystyle \text{Abstand} = 5 \cdot \cos(60°) = 5 \cdot 0.5 = 2.5 \text{ m} \)
Umrechnung
Von Grad zu Radiant:
\(\displaystyle \text{Radiant} = \frac{\text{Grad} \cdot \pi}{180°} \)
Mathematische Eigenschaften
- Periode: 360° bzw. 2π (Radiant)
- Symmetrie: Gerade Funktion: cos(-α) = cos(α)
- Nullstellen: Bei 90° + n·180° (n ganzzahlig)
- Extremwerte:
- Maximum: 1 bei 0°, 360°, 720°, ...
- Minimum: -1 bei 180°, 540°, ...
- Additionstheoreme:
- \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \)
- \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \)
Praktische Anwendungen
- Physik: Berechnung von Kraftkomponenten
- Navigation: Kursberechnungen und Positionsbestimmung
- Bauingenieurwesen: Statische Berechnungen und Tragwerke
- Astronomie: Berechnung von Himmelspositionen
- Computergrafik: 3D-Rotationen und Transformationen
- Elektrotechnik: Wechselstromberechnungen
- Maschinenbau: Bewegungsanalysen und Kinematik
- Vermessungswesen: Entfernungs- und Höhenberechnungen
Wichtiger Hinweis
Der Kosinus ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 360° bzw. 2π. Das bedeutet, dass cos(α) = cos(α + 360°) gilt. Der Wertebereich liegt immer zwischen -1 und +1, unabhängig vom Eingabewinkel. Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion, d.h. symmetrisch zur y-Achse: cos(-α) = cos(α). Zusammen mit dem Sinus erfüllt der Kosinus die fundamentale trigonometrische Identität: sin²(α) + cos²(α) = 1, die als Pythagoreische Identität bekannt ist.