ASin - Arkussinus (inverser Sinus)
Online Rechner zur Berechnung des Winkels zu einem Sinus
Arkussinus Rechner
Anleitung
Geben Sie den Wert des Sinus ein (zwischen -1 und +1), wählen Sie die Maßeinheit (Grad oder Radiant) und klicken Sie auf Rechnen.
Arkussinus - Übersicht
Wertebereich
Der Wert des Arguments muss zwischen -1 und +1 liegen. Das Resultat wird in Grad (-90° bis +90°) oder Bogenmaß/Radiant (-π/2 bis +π/2) angegeben.
Inverser Sinus, Skala in Radiant
Definition
Der Arkussinus (arcsin oder asin) ist die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion. Sie berechnet den Winkel für einen gegebenen Sinuswert.
\(\displaystyle y = \arcsin(x) \Leftrightarrow \sin(y) = x \)
mit \( x \in [-1, 1] \) und \( y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) (Radiant)
Umrechnung
Von Bogenmaß zu Grad:
\(\displaystyle \text{Grad} = \frac{\text{Radiant} \cdot 180°}{\pi} \)
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Beschreibung zum Arkussinus
Grundlagen
Der Arkussinus (\( \arcsin \) oder \( \text{asin} \)) ist die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion. Während der Sinus einem Winkel einen Wert zwischen -1 und 1 zuordnet, ordnet der Arkussinus Werten zwischen -1 und 1 wieder die entsprechenden Winkel zu.
Mathematische Definition:
\(\displaystyle y = \arcsin(x) \)
bedeutet
\(\displaystyle \sin(y) = x \)
Berechnung des Sinuswerts
Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die sich auf ein rechtwinkliges Dreieck bezieht. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels α das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Hypotenuse:
\(\displaystyle \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \)
Wichtig: Der Sinuswert liegt immer zwischen -1 und 1, und ein Winkel von 90 Grad hat einen Sinuswert von 1.
Detailliertes Beispiel
Beispiel 1: Sinuswert berechnen
Gegeben:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit:
- Gegenkathete: \( a = 5 \)
- Hypotenuse: \( c = 10 \)
Berechnung des Sinus:
\(\displaystyle \sin(\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5 \)
Beispiel 2: Winkel berechnen
Aufgabe:
Berechnen Sie den Winkel α für \( \sin(\alpha) = 0.5 \)
In Radiant:
\(\displaystyle \alpha = \arcsin(0.5) \approx 0.524 \text{ rad} \)
Umrechnung in Grad:
\(\displaystyle \alpha = \frac{0.524 \cdot 180°}{\pi} = 30° \)
Beispiel 3: Umkehrfunktion
Demonstration der Umkehrfunktion:
Wenn wir den Sinus von 30° berechnen:
\(\displaystyle \sin(30°) = 0.5 \)
Der Arkussinus von 0.5 ergibt wiederum 30°:
\(\displaystyle \arcsin(0.5) = 30° \)
Formel zur Umrechnung
Von Bogenmaß in Grad:
\(\displaystyle \text{Grad} = \frac{\text{Radiant} \cdot 180°}{\pi} \)
Eigenschaften
- Definitionsbereich: \( x \in [-1, 1] \)
- Wertebereich: \( y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) (Radiant) oder [-90°, 90°]
- Monotonie: Streng monoton steigend
- Spezielle Werte:
- \( \arcsin(0) = 0° \)
- \( \arcsin(0.5) = 30° \)
- \( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx 45° \)
- \( \arcsin(1) = 90° \)
- \( \arcsin(-1) = -90° \)
Praktische Anwendungen
- Geometrie: Winkelberechnung in Dreiecken
- Navigation: Kursbestimmung und GPS-Berechnungen
- Physik: Berechnung von Wurfwinkeln und Schwingungen
- Computergrafik: 3D-Rotationen und Animationen
- Astronomie: Berechnung von Himmelspositionen
- Ingenieurwesen: Steigungswinkel und Neigungen
Wichtiger Hinweis
Beachten Sie die Notation: In der Programmierung werden die inversen trigonometrischen Funktionen oft mit den abgekürzten Formen asin, acos, atan aufgerufen. Die Notationen sin−1(x), cos−1(x), tan−1(x) können zu Verwirrung führen, da sie mit der Notation für die reziproken trigonometrischen Funktionen kollidieren. Der Wertebereich des Arkussinus ist auf -90° bis +90° beschränkt, daher wird für einen gegebenen Sinuswert immer der Winkel im ersten oder vierten Quadranten zurückgegeben.
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